Si $T:V\to W$ es una transformación lineal inyectiva y $T^*:W\to V$ es su adjunto, es $T^*T:V\to V$ necesariamente un isomorfismo

Question

Dejemos que $V$ y $W$ sean espacios de producto interno de dimensión finita, $T:V\to W$ una transformación lineal inyectiva y $T^*:W\to V$ su adjunto, es decir, la transformación lineal que satisface \begin{equation} \langle Tv,w\rangle=\langle v,T^*w\rangle \end{equation} para todos $v\in V$ y $w\in W$ . Es $T^*T:V\to V$ ¿es necesariamente un isomorfismo? Es inyectiva porque si $T^*Tv=0$ entonces $\langle T^*Tv,v\rangle=\langle 0,v\rangle=0$ entonces $\langle Tv,Tv\rangle=0$ y luego $v=0$ . Pero no estoy seguro de que sea subjetivo.

Answer 1

Si $T^*Tv=0$ entonces $$ 0=\langle v,T^*Tv\rangle=\langle Tv,Tv\rangle $$ así que $Tv=0$ y, siendo $T$ inyectiva, $v=0$ (que es esencialmente lo que has hecho).

Ahora bien, un endomorfismo inyectivo de un espacio vectorial de dimensión finita es necesariamente suryente (consecuencia del teorema de la nulidad del rango).