¿Hace $f(x) = f(2x)$ % real todo $x$, implica que el $f(x)$ es una función constante?

Question

¿Si cumple con un continuo función $f(x)$ $f(x) = f(2x)$, para todo real $x$, entonces $f(x)$ necesariamente tiene que ser función constante? ¿Si es así, ¿cómo demostrarlo? ¿Si no cualquier ejemplos contrarios?

Answer 1

Para todos los % y $x\in\mathbb{R}$ $n\in\mathbb{Z}$, $f(x)=f(x/2^n)$, que $f(x)=\lim_{n\to\infty}f(x/2^n)=f(0)$ por continuidad.

Answer 2

Contraejemplo: $f(x)=\sin(\log_a(x))$, seleccione base $a$ así que $\log_a(2)=2\pi$, es decir, $a ^{2\pi}=2$.