Factor de integración - EDO no lineal de primer orden

Question

No consigo encontrar el factor de integración adecuado para esta EDO no lineal de primer orden. Incluso he intentado hacer un montón de sustituciones y trucos de manipulación de la ecuación, pero parece que no puedo conseguir un factor de integración adecuado.

$$\frac{1}{x}dx + \left(1+x^2y^2\right)dy = 0$$

EDITAR: Debido a que los usuarios de MSE se quejan de mi falta de pruebas de trabajo, la intención de la comprensión conceptual, etc, aquí es exactamente por qué estoy atascado.

Para empezar, esta EDO es obviamente inexacta:

$$\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{1}{x}\right) \neq \frac{\partial}{\partial x}\left(1+x^2y^2\right)$$

Y así, para que esto sea exacto (si decidimos seguir este camino) debemos (me ceñiré a la convención/notación estándar) encontrar una función $\mu$ tal que si multiplicamos toda la EDO original por ella, podremos integrar y resolver utilizando métodos de "EDO exacta". Esto se muestra como:

$$ \mu \left(\frac{1}{x}\right)dx + \mu \left(1+x^2y^2\right)dy = 0$$

$$ \frac{\partial}{\partial y} \left(\mu\left(\frac{1}{x}\right) \right) = \frac{\partial}{\partial x} \left(\mu \left(1+x^2y^2\right) \right)$$

Ahora expandiendo por la regla de la cadena, obtenemos:

$$\mu_y \left(\frac{1}{x}\right) = \mu_x \left(1+x^2y^2\right) + \mu \left(2xy^2\right)$$

Ahora es cuando estoy atascado. Queremos evitar tratar con una EDP, así que intentamos ceñirnos a las viejas técnicas de las EDOs asumiendo que $\mu$ es una función de sólo x o sólo y. Supongamos primero que $\mu$ es sólo una función de y. Entonces se cumplirá lo siguiente.

$$ \mu_x = 0$$

$$ \mu_y \left(\frac{1}{x} \right) = \mu \left(2xy^2 \right)$$

$$ \frac{d\mu}{\mu} = 2x^2y^2 dy$$

Al mirar el lado derecho, vemos que no funcionará: x e y están relacionadas, por lo que no podemos tener esa integral.

Ahora supongamos que $\mu$ es sólo una función de x. Entonces será cierto lo siguiente.

$$ \mu_y = 0$$

$$ \mu_x \left(1+x^2y^2\right) = -\mu \left(2xy^2\right)$$

$$ \frac{d\mu}{\mu} = \frac{-2xy^2}{1+x^2y^2} dx$$

Y, una vez más, si nos fijamos en el lado derecho, tenemos una integral que no podemos calcular inmediatamente, al igual que en el caso anterior.

Answer 1

Me parece que no podemos encontrar un factor integrador que dependa sólo de $x$ o sólo en $y$ (en general, $\mu$ será una función de una sola variable sólo en algunos casos especiales, por lo que no es del todo sorprendente).

Para cualquier ecuación de la forma $p(x,y)dx + q(x,y)dy = 0$ , para poder encontrar $\mu := \mu(x)$ debe ser el caso que \begin{equation} \frac{\frac{\partial p}{\partial y} - \frac{\partial q}{\partial x}}{q} \end{equation} es una función de $x$ sólo. Si es así, podemos establecer \begin{equation} \mu(x) = \exp\left(\int\frac{\frac{\partial p}{\partial y} - \frac{\partial q}{\partial x}}{q}dx\right). \end{equation} Aquí tengo \begin{equation} \frac{\frac{\partial p}{\partial y} - \frac{\partial q}{\partial x}}{q} = \frac{-2xy^2}{1 + x^2y^2}, \end{equation} que depende claramente de $y$ . Entonces no podemos tener un $\mu$ que sólo depende de $x$ . Para tener un $\mu$ que sólo depende de $y$ Debemos tener \begin{equation} \frac{\frac{\partial q}{\partial x} - \frac{\partial p}{\partial y}}{p} \end{equation} sea sólo una función de $y$ . Si ese es el caso, podemos establecer \begin{equation} \mu(y) = \exp\left(\int \frac{\frac{\partial q}{\partial x} - \frac{\partial p}{\partial y}}{p} dy\right). \end{equation} Aquí tengo \begin{equation} \frac{\frac{\partial q}{\partial x} - \frac{\partial p}{\partial y}}{p} = \frac{2xy^2}{\frac{1}{x}} = 2x^2y^2, \end{equation} que depende claramente de $x$ . Entonces no podemos tener $\mu$ dependen de $y$ sólo.

Como resultado, debemos tener $\mu$ dependen de ambos $x$ y $y$ .

Answer 2

El método de los coeficientes indeterminados puede utilizarse para obtener un factor integrador. Encontramos $\mu$ en forma $$\mu=\frac{1}{\sum_{i,j=0}^2A_{i,j}x^iy^j}$$ Obtenemos el factor integrador $$\mu=\frac{1}{2x^2y^2+2x^2y+x^2+2}$$ y la solución exacta $$\ln\left(2y^2+2y+1+\frac{2}{x^2}\right)-2y=C$$

Answer 3

Asuma que está buscando una solución $y(x)$ , entonces la matemática da:

$$ \frac{-1}{x + x^3 y^2} = \frac{ dy}{dx} \implies \frac{\exp (-2 y)}{8 x^2} + \frac{ \exp (-2y) }{16} (2 y^2 +2y +1) = Const $$