¿Por qué parece que no puedo solicitar el Radón transformar a la ecuación de Helmholtz?

Question

Decimos que una función $u$ y una región acotada $\Omega \subset \mathbb{R}^2$, de tal manera que $(\Delta+\lambda)u = 0$ en todas partes, y $u=0$ sobre el límite. La extendemos a todo el plano definiendo $u=0$ en todas partes fuera de $\Omega$. En Wikipedia se afirma que, para el Radón transformar, $R\Delta = \partial^2 / \partial s^2 R$, por lo tanto podemos deducir la educación a distancia

$$ \left( \frac{\partial^2}{\partial s^2} + \lambda \right) Ru(\theta,s) = 0,$$

por lo tanto, podemos razón por la que

$$ Ru(\theta,s) = a(\theta) e^{i \sqrt{\lambda} s} + b(\theta) e^{-i \sqrt{\lambda} s}.$$

Pero esto es periódica en $s$ periodo $2\pi/\sqrt{\lambda}$, lo que implicaría que el anterior se desvanece en todas partes, o que es posible integrar $u$ a través de líneas arbitrariamente lejos de $\Omega$ y aún así obtener un valor positivo, a pesar de $u$ de fuga de forma idéntica en dicha línea. Contradicción.

Así que, ¿significa esto:

1. No se pueden utilizar las $R\Delta = \partial^2 / \partial s^2 R$ para las funciones que no son lo suficientemente suaves, o
2. El Radón transformar es discontinua en cualquier línea tangente a $\partial \Omega$?

Answer 1

Sugerí en un comentario que después de extender $u$ a todo el avión, usted tiene $(\Delta+\lambda)u=\nu$ donde $\nu$ es una distribución apoyado en $\partial\Omega$. A continuación, el lado derecho de la educación a distancia debe ser $R\nu$, siempre que esté bien definida. Ya que esto parece un poco escasa para una respuesta, permítanme describir una situación más sencilla (o al menos una situación en la que estoy más familiarizado con) donde algo análogo sucede.

Considere la posibilidad de $u(x)=\sin(x)$$[0,\pi]$, e $0$ todas partes en $\mathbb{R}$. Supongamos que tenemos razón por la que $(\partial^2 + I)u=0$ todas partes en $\mathbb{R}$, y, a continuación, tomar la transformada de Fourier de ambos lados. Si hacemos uso de la normalización, que define $$ \widehat{\varphi}(k) = \frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{\mathbb{R}} \varphi(x)e^{-ikx}\,dx $$ para cada Schwartz función, entonces obtenemos $(-k^2+1)\widehat{u}(k)=0$. Desde $u$ es integrable, $\widehat{u}$ es una función continua, por lo que esta identidad implica que $\widehat{u}=0$ todas partes, lo que da $u=0$ en todas partes.

El error es que deberíamos haber utilizado $(\partial^2 + I)u=\delta_0+\delta_\pi$ donde $\delta_a$ es la función delta centrado en $a$. La derivada de $u$ tiene una discontinuidad de salto en $x=0$ del tamaño de la $1$, por lo que la segunda derivada da una unidad de punto misa, y de manera similar a $x=\pi$. Ahora la transformada de Fourier da $$ (-k^2 + 1)\widehat{u}(k) = \frac1{\sqrt{2\pi}}(1 + e^{-i\pi k}), $$ así que $$ \widehat{u}(k) = \frac{1 + e^{-i\pi k}}{\sqrt{2\pi}(1 - k^2)}. $$ Tomando límites de $k\to\pm1$, fácilmente podemos comprobar que esta función es continua, como debe ser.

Answer 2

Como otro ejemplo, frente a los comentarios, en 2D (o superior) considerar la distribución de derivados $\Delta u$ $\mathbb R^2$ donde $u$ es la función característica de la disco. El ejercicio es ver que esta es la distribución de $f\rightarrow$ integrar a-$\nu f$-a lo largo de-la-unidad-círculo, donde se $\nu$ es el normal de derivados.

Los comentarios de la anterior respuesta acerca de las distribuciones soportadas en el límite justo en el dinero como la contabilidad para las aparentes discrepancias entre ingenua de las formas de estos cálculos y un poco cayeron en cuenta las versiones de tomar en cuenta la correcta (un.k.a. "distribución") cálculo de los derivados.

De hecho, simetría rotacional (o equivariance) se conserva por $\Delta$, etc., que proporciona un "check" en la heurística de cómputos, y también proporciona una forma muy eficiente para completar los cálculos, en algunos casos! Por ejemplo, uno puede demostrar que cada distribución en $\mathbb R^2$ apoyado en el círculo unitario es de la forma $f\rightarrow \nu f \rightarrow u(\nu f)$ $\nu$ un operador diferencial en la dirección normal, y $u$ distribución en el círculo. Esto podría ser visto como (y es, esencialmente) una de mayores dimensiones de la versión de la manifestación de Taylor-Maclaurin de la serie en la comprobación de que las distribuciones soportadas en un punto son combinaciones lineales de delta de Dirac y sus derivados. Entonces la rotación-invariante entre estas distribuciones son fáciles de caracterizar. (Nota, las distribuciones en el círculo ha de Fourier expansiones con los coeficientes de crecimiento moderado.)