Deje $f({x\over x+1})=x^2$. Encontrar $f(x)$.

Question

Deje $f:\Bbb{R}\to \Bbb{R}$ cumplir $f({x\over x+1})=x^2$. Encontrar $f(x)$.

Creo que hay una regla o un reclamo que debe estar usando, pero no puedo pensar o cualquier. Fue dado en un ejercicio sobre el infimum\supremum (incluye el material de el principio, no derivados, etc)pero no puedo ver cómo se relaciona. Las sugerencias son las preferidas ya que realmente quiero llegar a mi propia. Agradecería su ayuda.

Answer 1

Deje $y=\frac{x}{x+1}$.
A continuación,$y=1-\frac{1}{x+1}\iff 1-y=\frac{1}{x+1}\iff x=\frac{1}{1-y}-1=\frac{y}{1-y}$.

$$f(y)=\left(\frac{y}{1-y}\right)^2, \forall y\in\mathbb R, y\neq 1$$

Aparentemente $f(x)$ no está definido en $x=1$, ya que el $\frac{x}{x+1}\neq 1,\forall x\in\mathbb R$.

Sabemos que $f(1)$ existe, ya que el dominio de $f$$\mathbb R$.

También sabemos que $f(1)\in\mathbb R$, ya que el codominio de $f$$\mathbb R$.

Answer 2

Sugerencia: Deje $g(x) = \frac{x}{x+1}$$h(x) = x^2$. Entonces usted tiene $f(g(x)) = h(x)$, es decir, la escritura como composiciones, $f \circ g = h$. Si podemos encontrar una inversa de a $g$, obtenemos $f = h \circ g^{-1}$. Volviendo a nuestro caso particular, $f(x) = (g^{-1}(x))^2$. Si usted puede encontrar una inversa de a $g$, ya está hecho.