Comprobación de los axiomas de los espacios vectoriales

Question

Actualmente estoy estudiando una sección de mi libro sobre espacios vectoriales. Estoy teniendo problemas para entender cómo se supone que debo demostrar algunas de las preguntas en la sección de ejercicios, tales como:

En cada una de las siguientes, determine si el conjunto, junto con las operaciones indicadas, es un espacio vectorial. Si no lo es, identifique al menos uno de los diez axiomas del espacio vectorial que falla.

13. $M_{4,6}$ con las operaciones estándar.

14. $M_{1,1}$ con las operaciones estándar.

15. El conjunto de todos los polinomios de tercer grado con las operaciones estándar.

16. El conjunto de todos los polinomios de quinto grado con las operaciones estándar.

17. El conjunto de todas las funciones polinómicas de primer grado $ax+b$ , $a\neq 0$ cuyas gráficas pasan por el origen con las operaciones estándar.

18. El conjunto de todas las funciones cuadráticas cuyas gráficas pasan por el origen con las operaciones estándar.

No sé cómo identificar exactamente qué axioma falla. Aquí están los axiomas:

1. $\mathbf{u}+\mathbf{v}$ está en $V$ . Cierre bajo adición.
2. $\mathbf{u}+\mathbf{v}=\mathbf{v}+\mathbf{u}$ . Propiedad conmutativa.
3. $\mathbf{u}+(\mathbf{v}+\mathbf{w}) = (\mathbf{u}+\mathbf{v})+\mathbf{w}$ . Propiedad asociativa.
4. $V$ tiene un vector cero $\mathbf{0}$ tal que para cada $\mathbf{u}\in V$ , $\mathbf{u}+\mathbf{0}=\mathbf{u}$ . Identidad aditiva.
5. Por cada $\mathbf{u}\in V$ hay un vector en $V$ denotado por $-\mathbf{u}$ tal que $\mathbf{u}+(-\mathbf{u}) = \mathbf{0}$ . Inverso aditivo.
6. $c\mathbf{u}$ está en $V$ . Cierre bajo multiplicación escalar.
7. $c(\mathbf{u}+\mathbf{v}) = c\mathbf{u}+c\mathbf{v}$ . Propiedad distributiva.
8. $(c+d)\mathbf{u}=c\mathbf{u}+d\mathbf{u}$ . Propiedad distributiva.
9. $c(d\mathbf{u})= (cd)\mathbf{u}$ . Propiedad asociativa.
10. $1(\mathbf{u}) =\mathbf{u}$ . Identidad escalar.

Digamos que miramos la pregunta 17: En el libro de respuestas dice que el axioma 4 falla, pero no veo cómo es posible.

Digamos que si tienes 4x+1, por el axioma 4 se supone que debes añadir 0 al vector u, por lo que obtendrías 4x+1+0=4x+1, lo cual es cierto....

La verdad es que no sé cómo hacerme a la idea de este tipo de problemas. ¿Puede alguien darme una explicación coherente? ¿Debo probar a mano cada axioma, o sólo en mi cabeza?

Answer 1

Con la práctica, uno aprende a reconocer el tipo de cosas que pueden ir mal en los posibles "espacios vectoriales", y rápidamente se acerca a ellos. Pero, la cosa es que se necesita practica para resolver esto.

A menudo, si una cosa va mal, muchas cosas irán mal; a veces, es una y sólo una cosa la que va mal (y puede ser difícil de detectar). En esta fase, puede ser una buena idea que compruebe cada axioma y ver si se cumple o no, porque te permitirá practicar mucho. Aunque basta con encontrar un axioma que falla para que algo no sea un espacio vectorial, encontrando todo las formas en que las cosas van mal es probablemente una buena práctica en esta etapa.

Por ejemplo, no dices qué problema "dice que la respuesta es el Axioma 4", y de hecho no veo ningún problema, entre los enumerados, en el que $4x+1$ ¡es incluso un vector! No es un $4\times 6$ matriz, no es una $1\times 1$ matriz, no es un polinomio de grado 3, no es un polinomio de grado 5, no es un polinomio de primer grado cuya gráfica pasa por el origen y no es una función cuadrática cuya gráfica pasa por el origen...

Como el usuario6312 ya te ha hecho empezar con la pregunta 15, continuemos: sabes que falla el axioma 1. No es difícil comprobar que satisface axiomas 2 y 3. El axioma 4 falla porque el vector cero (el polinomio 0) no está en su set....

El axioma 5 es un poco complicado: estrictamente hablando, el axioma 5 ni siquiera tiene sentido si el axioma 4 falla, porque no hay $\mathbf{0}$ en primer lugar. Sin duda, yo calificaría tal afirmación como correcta. Por otro lado, si tienes un polinomio de grado exactamente 3, $ax^3+bx^2+cx+d$ con $a\neq 0$ entonces puedes encontrar un polinomio de grado exactamente 3 que sumado a él te dará el polinomio cero (que no está en el conjunto). Así que puede también dicen que el axioma 5 se satisface "más o menos".

El axioma 6 falla: por ejemplo, $x^3$ está en su conjunto, $c=0$ es un escalar, pero $0(x^3)$ no está en su conjunto.

No es difícil comprobar que los axiomas 7, 8, 9 y 10 hacer aguantar.

Así que para 15 Los axiomas que fallan son los Axiomas 1, 4, 6 y posiblemente el 5 (dependiendo de cómo se interprete).

Encontrará problemas similares con 16 . Hay un poco más que hacer con 17 porque también tienes la condición "y pasa por el origen"; asegúrate de tenerlo en cuenta. De forma similar, con 18 . En cuanto a 13 y 14 Voy a contarles que ellos son espacios vectoriales: debes verificar que todos los axiomas se cumplen, uno por uno. Asegúrate de no verificarlos "por ejemplo": no basta con demostrar que para particular $4\times 6$ matrices $\mathbf{u}$ y $\mathbf{v}$ tienes $\mathbf{u}+\mathbf{v}=\mathbf{v}+\mathbf{u}$ : debe comprobar que funciona para todas las opciones posibles de $\mathbf{u}$ y $\mathbf{v}$ . Si te encuentras diciendo "ya que, por ejemplo..." lo más probable es que lo estés haciendo mal.

Answer 2

Para el Ej. 17, pregúntate si el cero está en el conjunto. Esto debería indicarte la dirección correcta.