Saltando en el espacio de dos dimensiones?

Question

Me encontré con este problema y no tengo idea de cómo acercarse a él: suponga que un error comienza a $(0,0)$, y en cada segundo, salta en una de las cuatro direcciones. En segundo $i$, salta una distancia de $a_i$ donde $a_1,a_2,a_3 \dots$ es una convergencia de series de términos positivos. Por ejemplo, $a_i = \dfrac{1}{3^i}$ o $a_i = \dfrac{1}{i^2}$.

¿Cuál es el área de todas las posibles ubicaciones de que el error puede alcanzar? Siquiera es un área continua? Es allí cualquier manera de acercarse a este problema, o es dependiente de la secuencia?

Yo también considera que el problema más sencillo de lo que ocurre si el fallo sólo puede mover hacia arriba o a la derecha; en ese caso, la línea de $x+y=S$ en el primer cuadrante, donde $S$ es la suma de la secuencia. Siempre se puede alcanzar cada punto de la línea? Si $a_i = \dfrac{1}{c^i}$ donde $c$ es un número entero, que sólo puede utilizar la base de $c$ de representación para construir cualquier cosa. Aparte de eso, yo no tengo ningún progreso.

Me gustaría saber si usted tiene cualquiera ideas interesantes!

Answer 1

Esta no es una respuesta completa, pero podría ser útil.

Si la serie fueron divergentes, pero con $a_n$ va a cero, entonces usted podría ser capaz de llegar a cada punto en el plano. Esto puede ser demostrado con un argumento en el estilo del estándar de prueba de Riemann, de reordenación del teorema.

Si la serie es convergente a un importe $S$, entonces para cualquier punto alcanzable $(x,y)$ debe tener $|x| + |y| \leq S$. Esto le da una cota superior de a $2 S^2$ a la accesible de la zona.

No sé si alcanzables región puede tener medida positiva, pero estoy seguro de que usted no puede dar una cota inferior para que con la suma de la serie. Tomar una serie de $\sum_{n\geq1}{a_n}$ de términos positivos convergente a $S + \epsilon$ tal que $a_1 = S$. Luego, con el primer paso, usted puede mover $S$ unidades en cualquiera de las cuatro direcciones. Después de que paso usted tiene un problema como el original, pero en alrededor de cualquiera de los puntos de $(0,S), (0,-S), (S,0)$ o $(-S,0)$. Alrededor de cada uno de estos puntos, se puede llegar a un máximo del área de $2\epsilon ^2$ por lo que el total puede llegar ser la mayoría de las $8\epsilon ^2$. Debido a $S$ $\epsilon$ fueron arbitrarias, no se puede atado debajo de la alcanzable con un área de no-trivial de expresión que involucra $S+\epsilon$ solo.

El razonamiento como antes, pero con $N$ pasos de la primera y, a continuación, delimitación, se obtiene una cota superior para la accesible área de $4^N 2(\sum_{n\geq N+1}{a_n})^2 = 2 (2^N(S-S_N))^2$ donde $S_N$ $N$- ésima suma parcial de la serie. Esto va a resolver el problema de la serie es rápido convergente. Más precisamente, se puede decir que el área de la accesible región es cero si $2^N(S-S_N) \to 0$.

Observar que si hay una oportunidad para llegar positivos área, usted tendrá que dar un número infinito de horizontal y vertical de los pasos para cubrir dicha región. Por ejemplo, si usted permite que sólo un número finito de horizontal pasos, entonces no son contables de mayo de posibilidades para el $x$ coordenadas del alcanzado puntos. Por lo tanto, la región está contenida en una contables de la unión de líneas verticales y tiene cero medir, debido a que.

Para una serie que no es tan rápido convergente no estoy seguro de qué esperar. Es un lindo problema.