Demostrar $E((X+Y)^p)\leq 2^p (E(X^p)+E(Y^p))$ para no negativo de las variables aleatorias $X,Y$ $p\ge0$

Question

Supongamos $X \geq 0$ $Y \geq 0$ son variables aleatorias y que $p\geq 0$

1. Probar $$E((X+Y)^p)\leq 2^p (E(X^p)+E(Y^p))$$

   Prueba

Desde $(X+Y)^p \leq (2 \> \max\{X,Y\})^p=2^p \> \max \{X^p,Y^p\}\leq 2^p(X^p+Y^p)$ $ \implies E((X+Y)^p)\leq 2^p (E(X^p)+E(Y^p))$

2. Si $p>1$ el factor de $2^p$ puede ser reemplazado por $2^{p-1}$
3. Si $0 \leq p \leq 1$ el factor de $2^p$ puede ser sustituido por $1$

Necesita ayuda con la parte 2 y la 3, cualquier sugerencia

Answer 1

Deje $f(x)=x^p$ Por convexidad $$f(\frac{X+Y}{2})\leq \frac{1}{2} f(X)+\frac{1}{2} f(Y) \implies \frac{(X+Y)^p}{2^p}\leq\frac{1}{2} X^p+\frac{1}{2}Y^p$$ El resultado de la siguiente manera.

Answer 2

Si $p>1$, luego por el Titular de la desigualdad, \begin{align*} X+Y &\le (X^p+Y^p)^{\frac{1}{p}} 2^{1-\frac{1}{p}}. \end{align*} Es decir, \begin{align*} (X+Y)^p \le 2^{p-1} (X^p+Y^p). \end{align*} Para $0 \le p \le 1$, observamos que \begin{align*} \left(\frac{X}{X+Y} \right)^p + \left(\frac{Y}{X+Y} \right)^p \ge \frac{X}{X+Y}+ \frac{Y}{X+Y}=1, \end{align*} y, a continuación, \begin{align*} (X+Y)^p \le X^p+Y^p. \end{align*}