$\int_{0}^{n^{2}} \lfloor \sqrt{t} \rfloor\ dt =$?

Question

Para encontrar la integral de la $\int_{0}^{n^{2}} \lfloor \sqrt{t} \rfloor\ dt$ si $n \geq 1$ es un número entero y $\lfloor \cdot \rfloor$ es la función del suelo, comencé con la observación de que $$\int_{0}^{n^{2}} \lfloor \sqrt{t} \rfloor\ dt = (2^{2}-1^{2})\cdot 1 + \cdots + \big[ n^{2} - (n-1)^{2} \big]\cdot (n-1).$$ Sin embargo parece que esta observación puede no ser lo suficientemente útil?

Answer 1

$$\int_{0}^{n^2}\lfloor \sqrt{t}\rfloor dt=\sum_{k=1}^n\int_{(k-1)^2}^{k^2}\lfloor \sqrt{t}\rfloor dt\\=\sum_{k=1}^n\int_{(k-1)^2}^{k^2} (k-1)dt=\sum_{k=1}^{n}(k-1)(k^2-(k-1)^2)=\sum_{k=1}^n (2k^2-3k+1)\\=\frac{n(n+1)(2n+1)}{3}-3\frac{n(n+1)}{2}+n$$

Answer 2

Que es el punto de partida, ahora acaba de escribir que en la notación de sumatoria. Así tenemos su integral es igual a $$\sum _{k=1}^{n-1}((k+1)^2-k^2)k$$ Simplificando, obtenemos $$\sum _{k=1}^{n-1}(2k+1)k=2\sum _{k=1}^{n-1}k^2+\sum_{k=1}^{n-1}k=2\cdot \frac {(n-1)(n)(2n-1)}{6}+\frac {(n-1)(n)}{2} $$ Factoring, obtenemos$$(n-1)(n)\left( \frac {2n-1}{3}+ \frac{ 1}{ 2} \right)$$

Answer 3

Si tu observación es correcta, entonces

$$\begin{align} \sum_{k=1}^{n-1}((k+1)^2-k^2)k&=\sum_{k=1}^{n-1}(k^2+2k+1-k^2)k\\ &=\sum_{k=1}^{n-1}(2k^2+k)\\ &=2\frac{n({n-1})(2n-1)}{6}+\frac{n(n-1)}{2}\\ &=n(n-1)\left(\frac{2n-1}{3}+\frac12\right) \end{align}$$