Encontrar una función continua en los reales donde $f(x) >0$ $f'(x) < 0$ $f''(x) < 0$

Question

Tenemos que encontrar una función de $f(x)$ donde $f(x) >0 $ $f'(x) < 0$ $f''(x) < 0$ donde $f$ es continua para todos los números reales.
Hemos intentado $ f(x) = \sqrt{-x}$ sin embargo, esto no está definido para $x>0$ y por lo tanto sólo es continuo donde $x<0$.
Hay incluso una función de este tipo? Debido a $f$ es positivo pero decreciente (...cada vez más)

Cualquier ayuda es muy apreciada. Gracias.

Answer 1

Para $x>0$ tenemos $f'(x)-f'(0)=xf''(\xi)<0$ por el MVT, por lo tanto $f'(x)<f'(0)$$x>0$. A continuación, para $x>0$ tenemos $f(x)-f(0)=x\cdot f'(\xi)<xf'(0)$ para algunos intermedio (pero positivo) $\xi$, por lo tanto $f(x)< f(0)+xf'(0)$$x>0$. Específicamente, para $x=-\frac{f(0)}{f'(0)}>0$ obtenemos $f(x)< 0$.

Answer 2

Tal función no existe!

Si no, no hay tal $f$ cóncava, por lo que

$$f(x)\leq f'(0)x +f(0), \qquad \forall x \in \Bbb R$$

Desde $f'(0)\lt0$, por lo que si $x \gt -\dfrac{f(0)}{f'(0)}$, luego

$$f(x)\leq f'(0)x +f(0)\lt0$$