Encontrar: $\lim_{x\to -\infty} \frac{\ln (1+e^x)}{x}$ (no hay Hospital)

Question

Encontrar: $\displaystyle \lim_{x\to -\infty} \dfrac{\ln (1+e^x)}{x}$ (no hay Hospital)

Estoy recibiendo un duro tiempo de resolución de este límite. El libro muestra 1 como la respuesta, Wolfram Alpha muestra 0.

Yo podría resolver fácilmente otro problema cuando el denominador se $e^x$, pero se ha quedado en esto.

No L'Hospital de la regla puede ser utilizado.

Consejos y respuestas completas son apreciados. Lo siento si esto es un duplicado.

Answer 1

Para $x\to +\infty$

$$\dfrac{\ln (1+e^x)}{x}=\dfrac{\ln (1+e^{-x})+\ln e^x}{x}=\dfrac{\ln (1+e^{-x})+x\ln e}{x}\to\ln e=1$$

Para $x\to -\infty$

$$\dfrac{\ln (1+e^x)}{x}\to\frac{\ln 1}{-\infty}=0$$

Answer 2

Recordemos que $\lim\limits_{x \rightarrow x_0} = f(x)g(x) = \lim\limits_{x \rightarrow x_0} f(x) \lim\limits_{x \rightarrow x_0} g(x)$ siempre $\lim\limits_{x \rightarrow x_0} f(x)$ $\lim\limits_{x \rightarrow x_0} g(x)$ existen.

Desde $$\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}\ln(1 + e^x) = \ln(1) = 0$$ y $$\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}\frac{1}{x} = 0$$

Tenemos $$\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}\ln(1 + e^x) \frac{1}{x} = \lim\limits_{x\rightarrow -\infty}\ln(1 + e^x)\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}\frac{1}{x} = 0$$

Como Gimusi la respuesta de la muestra, esto puede ser usado para rigurosamente compruebe que $\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{\ln(1+e^x)}{x} = 1$. Nota: la identidad $$\ln(1 + e^x) = \ln(e^{-x}\frac{1 + e^x}{e^{-x}}) = \ln(1+e^{-x}) - \ln (e^{-x})$$

Así $$\lim\limits_{x\rightarrow \infty}\ln(1 + e^x) \frac{1}{x} = \lim\limits_{x\rightarrow \infty} \left(\ln(1+e^{-x}) - \ln (e^{-x})\right) \frac{1}{x} = \lim\limits_{x\rightarrow -\infty} \left(\ln(1+e^{x}) - \ln (e^{x})\right) \frac{1}{-x} = \lim\limits_{x \rightarrow -\infty}\frac{\ln(e^x)}{x} = 1$$ donde la última igualdad se sigue porque los límites distribuir a través de la adición (por lo aplicamos a nuestro trabajo anterior).