Deje $\mathcal{H}$ ser un seperable espacio de Hilbert, $A\in\mathcal{B}(\mathcal{H})$ un delimitada Operador lineal y supongamos que tenemos una base ortonormales $(x_n)_{n=1}^\infty$. Si $A$ es de traza de clase, a continuación, $\sum_{n\in\mathbb{N}}\langle x_n,Ax_n\rangle$ es finito. Pero, ¿qué acerca de las converse, es decir, si sabemos que $$\sum_{n\in\mathbb{N}}\langle x_n,Ax_n\rangle<\infty,$$ can we deduce that $Un$ is trace class? If not, what can be said if $$ is known to be positive, i.e. $\ge 0$?
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Freeze_S
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La afirmación es falsa como:
Dado el espacio de Hilbert $\ell^2(\mathbb{N})$.
Considerar el derecho de turno: $$A:\ell^2(\mathbb{N})\to\ell^2(\mathbb{N}):\quad A:=R$$
A continuación, se ha finito de seguimiento: $$\sum_n\langle A\delta_n,\delta_n\rangle=\sum_n0=0$$
Pero no es la clase de seguimiento: $$\sum_n\langle|A|\delta_n,\delta_n\rangle=\sum_n1=\infty$$
La conclusión de contraejemplo.
Permítanme recordar que: $A\in B(\mathcal H)$ traza es la clase iff si para algunos (y por lo tanto todos) bases ortonormales $e_k$ $\mathcal H$ la suma $$Tr(A)=\sum_k\langle (A^*A)^{1/2}e_k,e_k\rangle<\infty.$$
La respuesta a la primera pregunta es no. Tome por ejemplo,$Ae_k=\lambda_ke_k,\ k\in\mathbb N$$\lambda_k=\dfrac{(-1)^k}k.$, a Continuación, en la alternancia de la serie $$\sum_k\langle Ae_k,e_k\rangle=\sum_k\dfrac{(-1)^k}k<\infty$$ pero $$\sum_k\langle (A^*A)^{1/2}e_k,e_k\rangle=\sum_k\dfrac1k=+\infty.$$
Si $A$ es positivo operador, a continuación, $A=(A^*A)^{1/2}$ y hemos $$Tr(A)=\sum_k\langle (A^*A)^{1/2}e_k,e_k\rangle=\sum_k\langle Ae_k,e_k\rangle<\infty,$$ de modo que $A$ es de la clase de seguimiento.
