Expresión más sencilla para un determinado factor determinante.

Question

Una pregunta en la escuela elemental de álgebra lineal, teniendo en cuenta los Cayley-Menger Determinante:

Dado un $n\times n$ matriz $M$, considere la posibilidad de $$\tilde{M}=\begin{pmatrix} M & (1,1,\cdots, 1)^\top \\ (1,1,\cdots, 1)& 0\end{pmatrix}$$ Is it possible to express $\det(\tilde{M})$ in terms of $\det(M)$ y algunos de los términos más simples?

Usted puede asumir que $M$ es simétrica. (Este problema, en su configuración original, en mi investigación, tiene la condición de que $M$ es simétrica. Pero va a ser más interesante para resolver el caso general.)

Answer 1

Sin duda, uno puede especializar el determinante de la fórmula para el bloque de matrices para la bordeando caso:

$$\begin{vmatrix}\mathbf M&\mathbf e\\\mathbf e^\top&0\end{vmatrix}=-(\mathbf e^\top\mathbf M^{-1}\mathbf e)\det\mathbf M$$

donde $\mathbf e$ es el vector columna cuyas entradas son todas las $1$'s.