Considerar un conjunto equipado con dos funciones idempotentes que conmutan.

Question

Considere un conjunto $X$ equipado y dos funciones $f, g : X \rightarrow X$. Suponga que $f$ y $g$ conmutan entre sí. Finalmente, llamemos $x \in X$ un punto fijo de $f$ si $f(x)=x.

Luego podemos demostrar que si $x$ es un punto fijo de $f$, entonces también lo es $g(x).

Prueba. Supongamos que $f(x)=x. Luego $g(f(x))=g(x). Por lo tanto, $f(g(x))=g(x). Entonces $g(x)$ es un punto fijo de $f.

Esta es probablemente una pregunta tonta, pero si asumimos que $f$ y $g$ son idempotentes, ¿se cumple necesariamente el recíproco?

Answer 1

Considere el conjunto de tres elementos $\{ 0,1\}$. Suponga que $f$ y $g$ son iguales a la función que lleva todo a $0$. Entonces $g(1)$ es un punto fijo de $f$, ya que $f(g(1))=f(0)=0=g(1)$. Sin embargo, $1$ no es un punto fijo, ya que $f(1) = 0 \neq 1.