Evaluar el límite de $\frac{1}{n}{\sum_{k=1}^n}\frac{4\,k^3\,e^{\frac{k^4}{n^4}}}{n^3}$

Question

$$a_n=\frac{1}{n}{\sum_{k=1}^n}\frac{4\,k^3\,e^{\frac{k^4}{n^4}}}{n^3}$$

Por lo que parece como una suma de Riemann, por lo que escribir como una suma de Riemann puede ayudar a encontrar la integral de la$\Rightarrow$ el límite

$$\frac{1}{n}{\sum_{k=1}^n}\frac{4\,k^3\,e^{\frac{k^4}{n^4}}}{n^3}=\frac{1}{n^4}{\sum_{k=1}^n}4k^3e^{\frac{k^4}{n^4}}=\frac{1}{n^4}{\sum_{k=1}^n}[e^{\frac{k^4}{n^4}}]'=\Delta x_{i}{\sum_{k=1}^n}[e^{\frac{k^4}{\Delta x_{i}}}]'$$

De modo que la integral es $\int_{0}^{1}[e^{k^4}]'$?

Answer 1

Sí, esta es una suma de Riemann, entonces, como $n \to \infty$, $$ \frac{1}{n}{\sum_{k=1}^n}\frac{4\,k^3\,e^{\frac{k^4}{n^4}}}{n^3} \\int_0^14x^3e^{\x^4}dx=\int_0^1\left(e^{\x^4}\right)'dx=\left[e^{\x^4}\frac{}{}\right]_0^1=e-1. $$