Muestre que cada valor propio entero de$A$ divide el determinante de$A$.

Question

Deje $A$ ser una matriz cuadrada de orden $n$ cuyas entradas son todos los números enteros. Mostrar que cada entero valor propio de a $A$ divide el determinante de a $A$.

Yo no soy capaz de entender cómo mostrar este. Sabemos que $\det A$ es el producto de eigen valores de y para cada valor eigen debe dividir $\det A$.

Pero si una matriz tiene valores eigen $3$$\frac{4}{3}$, entonces si tengo que hacer el producto, entonces el factor de $3$ obtiene neutralizado si puedo hacer el producto, cómo lo hace aparecer como un factor de $\det A$?

Por favor, ayudar.

Answer 1

Sea $P(x)=\sum_{k=0}^nakx^k$ el lo polinomial. Entonces $|P(0)|=|\det A|$. Por otra parte, los coeficientes de $P$ son enteros. Si $\lambda$ es un valor propio entero, $$0=P(\lambda)=P(0)+\sum{k=1}^nak\lambda^k$ $ pues $$|\det A|=|P(0)|=|\lambda|\cdot\left|\sum{k=1}^na_k\lambda^{k-1}\right|$$ ahí $\lambda$ divide $\det A$.