Dé un ejemplo de un homomorfismo no trivial para$\phi$ para el grupo dado, o si no existe tal homomorfismo, explique por qué.

Question

Los dos grupos en cuestión son$\phi:\mathbb{Z}_{12}\to\mathbb{Z}_5$ y$\phi:D_4\to S_3$.

Para el primer grupo, la respuesta es "no hay homomorfismo", porque debe haber 5 cosets en$\mathbb{Z}_{12}$, pero 5 no divide 12.

Sin embargo, para el segundo grupo, la respuesta es$$\phi=\begin{cases} \rho_0,\rho_1,\rho_2,\rho_3\to(1\,2)^0\\ \mu_1,\mu_2,\delta_1,\delta_2\to(1\,2)^1\end{cases}$ $

Pero según la lógica de la primera parte, ¿no existiría un homomorfismo desde$D_4$ a$S_3$, ya que$\vert D_4\vert=8$ y$\vert S_3\vert=6$? En general, ¿cómo resuelvo este tipo de problemas?

Answer 1

Esta es una buena observación; la correcta de los criterios a que si $G$ $H$ son grupos cuyas órdenes son coprime, entonces no hay no-trivial homomorphisms entre ellos. Aquí, $5$ $12$ son coprime, sino $8$ $6$ no lo son. Uno de los más específica cosa que usted puede notar es que de Lagrange del teorema garantiza que el tamaño de la imagen de un homomorphism $G\rightarrow H$ divide tanto a a $|G|$ $|H|$ (es decir, divide $\gcd(|G|,|H|)$). La segunda homomorphism de la lista, por ejemplo, tiene una imagen de tamaño $2$, que es exactamente $\gcd(8,6)$.

Answer 2

Supongamos que$\phi: G\rightarrow H$ es un homomorfismo y$a\in G$, tenemos$\phi(a)^{|a|}=\phi(a^{|a|})=\phi(1)=1\Rightarrow |\phi(a)|$ divide$|a|$.

En particular, según el teorema de Lagrange,$|\phi(a)|$ divide$|G|$ y$|H|$ por lo tanto,$gcd(|G|,|H|)$.