¿Existe una definición rigurosa de una línea?

Question

En las fuentes que puedo encontrar, la línea se considera un concepto primitivo (uno sin definición). Hay algo, sin embargo, en una definición intuitiva que no se sienta bien conmigo.

¿Hubo cualquier intento de definir rigurosamente la línea?

Y si había, ¿por qué? ¿Lo que hace la línea un concepto que no debe ser definido rigurosamente?

Answer 1

En el plano de la geometría que lleva David Hilbert del nombre, hay cinco términos indefinidos:

1. Línea
2. Punto
3. Se encuentra en (como en un punto se encuentra en un avión) (esto es a menudo llamado "incidencia")
4. Entre (como en un punto se encuentra entre otros dos puntos)
5. Congruentes (como en los dos segmentos de línea o dos ángulos son congruentes)

Sin embargo, sólo porque no se han definido hace no significa que su comportamiento no está definido. Que es lo que todos los axiomas son de allí.

Desde un punto de vista lógico, hay una razón por la que algunos de los términos debe ser indefinido, y está en dos partes: en Primer lugar, las definiciones no se puede circular. En segundo lugar, hay sólo un número finito de palabras disponibles para definir cualquier concepto. El conjunto de estas dos razones, hace que cualquier cadena de pedir en reiteradas ocasiones ", Pero ¿cuál es la definición de ese término?" es obligado para finalmente terminar en un punto muerto en el que no tiene más palabras a la izquierda para describir los conceptos sin tener que recurrir a la circularidad. Por lo tanto, es generalmente aceptado que sólo hay que comenzar en algún lugar, con nombres como "punto" y "línea" de la cual no explicar qué es, cómo se comportan.

Answer 2

Euclides del Enfoque

Supongo que el contexto aquí es la geometría clásica al estilo de Euclides. En el principio de Euclides los Elementos, se define:

Un punto es lo que no tiene parte.

Una línea es breadthless de longitud.

Es decir, un punto es que lo que no tiene medida en cualquier dirección, y una línea tiene longitud, pero no ancho. Estas definiciones son adecuados para ver qué tipos de cosas que está hablando, pero no son muy precisos. Un enfoque más moderno, podría ser la de tomar uno de los dos siguientes perspectivas.

Enfoque Axiomático

Este es el enfoque de sus fuentes probable que utilice. Con un enfoque axiomático, los conceptos básicos como los puntos y las líneas no tienen definiciones en todos. Sus propiedades básicas y relaciones el uno con el otro se da como axiomas, y sacamos conclusiones a partir de esos axiomas solo. La ventaja es que podemos aplicar esas conclusiones para nada la satisfacción de los axiomas.

Algebraicas Enfoque

El otro enfoque moderno es mirar el espacio que estamos trabajando con (es decir, el plano), y asignar a cada punto de coordenadas de la forma $(x,y)$ (por ejemplo, "$(2,4)$", o "$(1.4,-9.6)$"). Una línea, a continuación, se define como un conjunto de puntos que satisfacen una ecuación de la forma $ax + by = c$, para algunos la elección de $a$, $b$, y $c$. La ventaja de este enfoque es que los números y las ecuaciones son muy expresivos, y nos permiten hacer describir mucho más sofisticados conceptos y técnicas.