Funciones absolutamente continuas

Question

Esto podría clasificarse como una pregunta blanda. Pero me interesaría mucho conocer la motivación de la definición de función absolutamente continua. Afirmar "Una función de valor real $ f $ en $ [a,b] $ es absolutamente continua en dicho intervalo si $\forall $$ \epsilon >0 \N - \N - en el que el $, $ \N - Existe\Ndelta>0\N-. $ such that $$ |sum^n_{k=1}|f(b_k) -f(a_k)|< \epsilon $$

por cada $n$ subintervalos disjuntos $ \ (a_k,b_k) $ de $ \ [a,b] $ , $k=1,\ldots,n$ , de tal manera que $ \sum^n_{k=1}|b_k -a_k|< \delta $ . ¿Por qué se utilizan los subintervalos disjuntos? ¿Para qué sirven? De alguna manera, la definición no me parece natural.

Lo que quiero decir es que, al igual que la noción de continuidad uniforme está motivada por la propia definición de continuidad o que el concepto de compacidad sirve para generalizar la noción de finitud, ¿cómo se puede considerar la Continuidad Absoluta en este sentido?

Answer 1

Se puede pensar en la continuidad absoluta como motivada por / modelada en "diferenciable en casi todas partes" más "satisface el Teorema Fundamental del Cálculo".

Precisamente, $f$ es absolutamente continua si y sólo si $f$ es diferenciable casi siempre y $f(x) = f(a) + \int_a^x f'(x) dx$ para todos $x \in [a,b]$ .

A primera vista, puede parecer que la diferenciabilidad a.e. debería ser una propiedad lo suficientemente buena como para garantizar que la FTC es verdadera, pero hay contraejemplos (como la función de Cantor). Se puede pensar en la continuidad absoluta como una forma de apuntalar ese tipo de patología, es decir, elimina las llamadas funciones singulares (en el sentido de la teoría de la medida).

La parte "disjunta" de la definición sirve para debilitar un poco la definición. Si se omitiera "disjunta", se estaría describiendo una condición para las funciones de Lipschitz, que es más fuerte de lo necesario (si su objetivo es "abs. cont." $\iff$ "a.e.-diff + FTC"). Es decir, hay funciones que son abs. continuas, pero no Lipschitz (como $\sqrt{x}$ en $[0,1]$ ).

Como ejercicio, demuestre que esta definición falla para $\sqrt{x}$ en $[0,1]$ si se elimina la hipótesis de disyunción. Sugerencia: tome cada uno de los intervalos $[a_k,b_k]$ para ser el $\textit{same}$ intervalo $[0,\alpha]$ para algunos de los pequeños $\alpha$ .

Answer 2

La forma en que me gusta pensar en ello es que dice que la imagen bajo $f$ de una colección finita suficientemente pequeña de intervalos es arbitrariamente pequeña (donde "pequeña" se refiere a la longitud total).