Afines Van der Waerden ' teorema s

Question

Tengo la siguiente instrucción que se afirma que es una versión de Van der Waerden del teorema:

Para cualquier finito partición de $\mathbb{N}$, una de las celdas contiene afín a las imágenes de cada conjunto finito.

Esta declaración es tomada del libro Elemental métodos en ergodic teoría de ramsey.

Los afín a la versión de Van der Waerden del teorema yo había entendido antes era:

Para cualquier finito partición de $\mathbb{N}$ y cualquier subconjunto finito de $\mathbb{N}$, una de las celdas contiene una afín a la imagen de la misma.

Mi primera pregunta es, ¿no es esto lo que el libro en realidad significa, porque no es muy claro para mí cómo las dos declaraciones están relacionadas? Mi segunda pregunta es, ¿cómo mostrar que el anterior afín versión es equivalente a la declaración obtenida mediante la sustitución de $\mathbb{N}$$\mathbb{Z}$?

Gracias por su tiempo.

Answer 1

Tenga en cuenta que una progresión aritmética de longitud $n$ es el mismo como una afín a la imagen de $\{1,\dots,n\}$.
Si $F$ es un subconjunto finito de $\mathbb N$, entonces cada una progresión aritmética de la longitud de la $\max F$ contiene una afín a la imagen de $F$.

Se sigue que no sólo tiene que preocuparse de progresiones aritméticas arbitrariamente largas en lugar de afín imágenes de conjuntos finitos.

Ahora, si para cada una de las $n$ es una célula de la partición finita de $\mathbb N$ que contiene una progresión aritmética de longitud $n$, entonces, por la finitud de la partición, una célula de la partición es bueno para infinidad de $n$. Esta celda contiene ahora progresiones aritméticas arbitrariamente largas y por lo tanto afín a las imágenes de todos los conjuntos finitos.

Answer 2

Para la segunda pregunta, en primer lugar tenga en cuenta que un subconjunto finito no importa si pertenece a $\mathbb Z$ o $\mathbb N$ (a cada subconjunto finito de $\mathbb Z$ es affinely equivalente a un subconjunto finito de $\mathbb N$).

Por Stefan de la respuesta, es suficiente para demostrar la equivalencia entre las progresiones aritméticas.

Tomar cualquier finito partición de $\mathbb N$, y se extienden a $\mathbb Z$ poniendo $-x$ en la misma celda a $x \in \mathbb N$ ($0$ su propio y único de la célula). Ahora supongamos que algunas células de $\mathbb Z$ contiene una progresión $P$ de la longitud de la $2r$. A continuación, cualquiera de $P$ o $-P$ tiene una mayoría de números positivos, dando una progresión de la longitud de, al menos, $r$ contenido totalmente en el $\mathbb N$. Por lo tanto la partición original de $\mathbb N$ tenía un celular con una progresión de longitud $r$.

El argumento anterior muestra que (declaración de con $\mathbb Z$) implica (declaración de con $\mathbb N$). A la inversa de la dirección es trivial, ya que cualquier finito partición de $\mathbb Z$ induce una partición finita de $\mathbb N$ en la forma obvia.