Consejos para el análisis complejo

Question

¿Podría alguien aconsejar sobre este problema?

Dejemos que $g(z$ ) sea una función analítica en la bola perforada $B(z_1, R) - \{z_1\}$ y que $N$ sea un número entero fijo no negativo tal que $\lim_{z\rightarrow\ z_1}(z- z_1) ^{m}g(z)=0$ $\forall m > N$ y $\lim_{z\rightarrow\ z_1}(z- z_1)^{n}g(z)= \infty$ $\forall $ n < N. Determinar el tipo de singularidad de $g(z)$ en $z=z_1$ .

Gracias.

Answer 1

Aquí hay otra versión. Definir $G(z) = (z - z_1)^ {N+1} g(z)$ cuando $z \ne z_1$ y $G(z) = 0$ cuando $z = z_1$ . Entonces $G(z)$ es analítica en el disco perforado y continua en el disco, por lo que es analítica en todo el disco utilizando el Teorema de Morera. Como $G(z_1) = 0$ , se ve que $H(z) = \displaystyle \frac{G(z)}{z-z_1} = (z - z_1)^ {N} g(z)$$ también es analítica en todo el disco.

Además, $H(z_1) \ne 0$ porque de lo contrario $\lim \limits _{z \to z_1} (z-z_1)^{N-1}g(z) = \lim \limits _{z \to z_1} \displaystyle \frac{H(z) - 0}{z - z_1}$ sería finito.

Entonces puedes escribir $g(z) = \displaystyle \frac{H(z)}{(z-z_1)^{N}}$ , donde $H(z)$ es analítica, $H(z_1) \ne 0$ que muestra $z = z_1$ es un polo de orden $N$ .

Answer 2

Por lo tanto, la respuesta a su pregunta es que $g$ tiene un polo de orden $N$ en $z_1$ . Sus hipótesis nos dicen precisamente que $$g(z)=\sum_{k=-N}^\infty a_k(z-z_1)^k$$ con $a_{-N}\ne 0$ .

Answer 3

Para que $g$ para tener una discontinuidad removible en $z=z_1$ , $\lim_{z\to z_1}g(z)$ debe existir (ser un número complejo). Equivalentemente, debe existir una función $f$ analítica sobre $B(z_1,R)$ tal que $g(z)=f(z)$ para todos $z\in B(z_1,R)\setminus\{z_1\}.$ De forma equivalente, la serie de Laurent de $g$ en $B(z_1,R)\setminus\{z_1\}$ no debe tener poderes negativos de $(z-z_1).$

Para que $g$ para tener un poste en $z=z_1,$ $\lim_{z\to z_1}|f(z)|$ debe ser infinito. Equivalentemente, debe haber una función $f$ analítica en $B(z_1,R)$ y un número entero positivo $n$ tal que $g(z)=\frac{f(z)}{(z-z_1)^n}$ para todos $z\in B(z_1,R)\setminus\{z_1\}.$ De forma equivalente, la serie de Laurent de $g$ en $B(z_1,R)\setminus\{z_1\}$ debe tener sólo un número finito de potencias negativas de $(z-z_1).$

Para que $g$ tener una singularidad esencial en $z=z_1,$ $\lim_{z\to z_1}|f(z)|$ debe dejar de existir en cualquier sentido. Por lo tanto, las condiciones "equivalentes" anteriores fallan.