Hay una forma común(Weinberg QFT Vol.1 P83) para introducir la central de carga de la que no puedo entender. Dado unitaria representación proyectiva $U(g)$ de Lie del grupo de $G$.
$$U(g_1)U(g_2)=e^{i \phi(g_1,g_2)}U(g_1g_2)\tag{1}$$
El uso de coordenadas locales, $\{x^a \}$ cerca de elemento de identidad, $g1.g2=g(x_1).g(x_2)=g(x_3(x_1,x_2))$ $$x^a_3(x_1,x_2)=x^a_1+x^a_2+\gamma^{abc}{x^b_1}x_2^c+\cdots\tag{2}$$ $$\phi(g_1,g_2)\equiv\phi(x_1,x_2)=\gamma^{bc}x_1^bx_2^c+\cdots\tag{3}$$ $$U(g(x))=1+ix^aT^a+\frac{1}{2}x^a x^b T^{ab}+\cdots\tag{4}$$ con $T^a$ Hermitian y $T^{ab}=T^{ba}$.
Substitude $(2,3,4)$ a $(1)$, $$-T^cT^b= i \gamma^{cb}1+i\gamma^{acb}T^a+T^{cb}\tag{5}$$
Por definición, $$f^{abc}\equiv \gamma^{acb}-\gamma^{abc} \quad f^{bc}\equiv \gamma^{cb}-\gamma^{bc}$$ $$[T^b,T^c]=i f^{abc}T^a+i f^{bc}1\tag{6}$$ Ellos llaman a $f^{bc}$ central de carga.
Mis preguntas:
1.Esta derivación depende en gran medida de las coordenadas y de la representación que es desconocida para mí. Desde mi conocimiento, dada una Mentira grupo $G$, $T^a$ debe ser el vector tangente al elemento de identidad, que es $T^a \in T_e G = \mathfrak{g}$. El colector de Mentira álgebra todavía debe estar en el álgebra de la Mentira. ¿Por qué $i f^{bc}1$ ocurren en $(6)$ desde $1$ no es un elemento en $\mathfrak{g}$.
2.Parece que estamos hablando de una representación específica $(1)$, debido a que da un resumen de la Mentira de grupo $G$, $e^{i \phi(g_1,g_2)}$ no puede ocurrir en el grupo de productos. Sólo después de encontrar una representación proyectiva $(1)$, es decir, $\phi(g_1,g_2)$ distinto de cero, se puede definir la central de carga por esta vía. Sin embargo los libros de texto también dice que para que una simplemente conectados a la Mentira de grupo, puede tener proyectiva representación cuando la central de carga de la Mentira álgebra es trivial. ¿Hay algún argumento circular aquí?
O tal vez la central de carga se define para la representación específica. Entonces la pregunta es la suficiente y necesaria condición para que una Mentira álgebra $\mathfrak{g}$ tener una representación con trivial central de carga?
3.Así que ¿cuál es la definición geométrica de la central de carga? Debe haber alguna definición de la central de carga de la que no depende de la representación y de coordenadas.
