Cantidad de homomorphisms $S_5$ $C_6$

Question

Creo que entiendo la cantidad de homomorphisms $C_6$$S_5$:

Debido a $C_6$ es cíclica, es decir, sólo tenemos que mirar donde podemos enviarle $\langle a\rangle$, debido a $f(\langle a\rangle)$ debe tener un orden $1, 2, 3$ o $6$ tenemos:

-para $1$: trivial homomorphism.

-para $2$: el diez $(xy)$ ciclos en $S_5$, a los quince $(xy)(ab)$ ciclos en $S_5$

-para $3$: el vigésimo $(xyz)$ ciclos en $S_5$

-para $6$: el vigésimo $(xyz)(ab)$ ciclos en $S_5$

de modo total $= 66$

de la otra manera me parece más difícil.

Alguien puede ayudar?

Pregunta extra: es el tamaño de la clase conjugacy de un elemento en el grupo siempre la cantidad de elementos de la misma forma? así que en $S_5$, $(12)$ ha conjugacy el tamaño de la clase 10, por lo que hay diez $(xy)$$S_5$?

Answer 1

El núcleo de un homomorfismo h $f: S_5 \rightarrow C_6$ debe ser un subgrupo normal de $S_5$. Hay solamente tres tales: $S_5, A_5$ y ${1}$. No podemos tener desde $|S_5| > |C_6|$ $\ker f = {1}$. Si $\ker f = S_5$ y $f$ solo manda todo a la identidad. Si $\ker f = A_5$ entonces por el primer teorema de isomorfismo im $f \cong C_2$, que existe solamente una copia de la dentro de $C_6$, así tenemos $f(a) = g^3$ si $a \notin A_5$, $f(a) = 1$ si $a \in A_5$.

Answer 2

Supongamos $h:S_5\to C_6$ es un homomorphism. $S_5$ tiene elementos de orden $5$ (es decir, ciclos), que se asignan por $h$ a la identidad, ya que es el único elemento de $C_6$ cuya orden se divide $5$. Pero los elementos de orden $5$ $S_5$ generar toda la alternancia de los subgrupos $A_5$, por lo que todos los de $A_5$ es enviado por $h$ a la identidad. Por lo $h$ factores como la proyección de $S_5\to S_5/A_5$, seguido por un homomorphism de la $2$-elemento cíclico grupo $S_5/A_5$ a $C_6$. Desde $C_6$ tiene sólo dos elementos cuyo orden se divide $2$, hay sólo $2$ tal homomorphisms.