Probar eso es un cuadrado perfecto.

Question

<blockquote> <p>Para cualquier entero positivo $n$, demostrar que $\displaystyle \prod_{j=1}^{2n}\left(j^j(2n+j)^{j-1}\right)$ es un cuadrado perfecto.</p> </blockquote> <p>Que $f(n) = \prod_{j=1}^{2n}\left(j^j(2n+j)^{j-1}\right)$. Entonces $$f(1) = 2^4, \quad f(2) = 2^{20} \cdot 3^4 \cdot 7^2, \quad f(3) = 2^{32} \cdot 3^{18} \cdot 5^8 \cdot 11^4.$$ I didn't see a way to prove the expression is a perfect square for all $n$.</p>

Answer 1

Extracción de poderes incluso, vemos que, hasta un cuadrado perfecto, esta expresión es igual a $$ \prod{\text{odd} j\le 2n} j \cdot \prod{\text{even} j\le 2n}(2n+j) = (2n-1)! \cdot \prod_{k=1}^n(2n+2K) = (2n-1)! \cdot 2 ^ n \frac{(2n)!} {n}! \ = (2n-1)! \cdot 2 ^ \frac{(2n) {2n}!} {(2n)!} = \bigl (2 ^ n (2n-1)! \bigr)^2. $$