Caracterización de continuo funciones exponenciales para un campo topológico

Question

¿Dado un campo topológico $K$ que admite una función exponencial continua no trivial $E$, cada función exponencial continua no trivial $E'$ $K$ debe el % de forma $E'(x)=E(r\sigma (x))$de algunos $r \in K$ * y $\sigma \in Aut(K/\mathbb{Q})$?

¿Si no es así, para los campos que no sean $\mathbb{R}$ es esta condición que cumplen?

Gracias a Zev

Answer 1

Parece que como se indicó, la respuesta es falsa. No estoy satisfecho con el siguiente contraejemplo, sin embargo, y voy a explicar después.

Tome $K = \mathbb{C}$ y deje $E(z) = e^z$ ser el estándar de la exponencial compleja. Tome $E'(z) = \overline{e^z} = e^{\overline{z}}$ donde $\overline{z}$ es el conjugado complejo de $z$. A continuación, $E'(z)$ no es de la forma $E(r z)$, y sin embargo es perfectamente homomorphism de la aditivo para la multiplicación de los grupos de $\mathbb{C}$.

He aquí por qué no estoy satisfecho: usted puede tomar cualquier automorphism de un campo y cocinar hasta nuevo exponenciales por el post-composición o pre-composición. En el caso que he mencionado, estos dos coinciden.

Esto no funciona en $\mathbb{R}$ porque no hay ninguna que no sea trivial continua de automorfismos allí. Yo estaría interesado en ver una respuesta a una reformulación a este problema que refleja esto.

Answer 2

He aquí una $p$-ádico ejemplo a tener en cuenta. En ${\mathbf C}_p$ ($p$- ádico de los números complejos) vamos a $$D = \{x \in {\mathbf C}_p : |x|_p < (1/p)^{1/(p-1)}\},$$ which is the disc of convergence of the $p$-adic exponential series $\exp(x) = \sum_{n \geq 0} x^n/n!$. Then $\exp(D) = 1 + D$, and $1+D$ is a multiplicative subgroup of $1 + {\mathfrak m}_p$, where ${\mathfrak m}_p = \{x \in {\mathbf C}_p : |x|_p < 1\}$. The group $1 + {\mathfrak m}_p$ is divisible, so for any abelian group $G$ and subgroup $H$, any group homomorphism $f \colon H \rightarrow 1 + {\mathfrak m}_p$ extends to a group homomorphism $G \rightarrow 1 + {\mathfrak m}_p$. This extension from $H$ to $G$ is based on Zorn's lemma, and if you look at the proof you see that it involves gazillion choices along the way (if $[G:H] = \infty$). Así que hay una enorme cantidad de flexibilidad en la toma de la extensión.

Vamos a aplicar esto a la aditivo grupo ${\mathbf C}_p$ y de los subgrupos $D$: el homomorphism $\exp \colon D \rightarrow 1 + {\mathfrak m}_p$ se extiende a un homomorphism ${\mathbf C}_p \rightarrow 1 + {\mathfrak m}_p$ en muchas maneras diferentes. Desde esta extensión de homomorphism es el poder de la serie de $\exp(x)$ en un barrio de $0$, la continuidad de $\exp$ $0$ implica la continuidad de cualquier extensión a un homomorphism en ${\mathbf C}_p$. No he pensado cuidadosamente acerca de por qué usted no puede escribir todas esas extensiones en términos de uno de ellos, utilizando premultiplication, pero se siente evidente para mí, el lema de Zorn base para la toma de la extensión que como una relación entre todas esas extensiones no es cierto.