Justificación para mover un límite fuera una integral indefinida

Question

Alguien le preguntó en otro sitio sobre formas de evaluar $\int \ln x \ dx $ sin usar integración por partes.

Mi respuesta fue la siguiente:

$$ \begin{align} \int\ln x \, dx & =\int\lim{t\to 0}\frac{x^{t}-1}{t} \, dx \ &= \lim{t\to 0}\frac{1}{t}\int (x^{t}-1) \, dx \ &=\lim{t\to 0}\frac{1}{t}\left(\frac{x^{t+1}}{t+1}-x\right)+C \ &=\lim{t\to 0}\frac{x^{t+1}-x(t+1)}{t(t+1)}+C \ &=\lim_{t\to 0}\frac{x^{t+1}\ln x-x}{2t+1}+C \ &= x\ln x-x+C \end{align}$$

Pero no sé cómo justificar el límite fuera de la integral indefinida en movimiento.

Answer 1

Primero de todo, vamos a fijar el intervalo de integración. Queremos mostrar que para cualquier $0<a<b<\infty$, $$\int_a^b \ln x\,dx = \lim_{t\to 0}\int_a^b \frac{x^t-1}{t}\,dx \tag1$$ Como nbubis dijo, es suficiente para demostrar que hemos convergencia uniforme. Para ello, escriba $x=e^u$ y el uso de la aproximación de Taylor $$|e^{tu}-1-tu|\le C(tu)^2 \tag2$$ por lo suficientemente pequeño $tu$. El punto importante es que el $|tu|\le |t|\max(|\log a|, |\log b|)$, lo que nos permite reescribir (2) como $$|e^{tu}-1-tu|\le \widetilde Ct^2 \tag3$$ por lo suficientemente pequeño$t$, $\widetilde C$ independiente de $u$. Por lo tanto, $$ \sup_{x\in [a,b] } \left|\frac{x^{t}-1}{t} -\ln x\right|= \sup_{u\[\log a,\log b]} \left|\frac{e^{tu}-1}{t} -u\right| \le \widetilde Ct $$ como se desee.

Answer 2

He visto dijo que si la serie de funciones $f_n$ converge uniformemente (no sólo pointwise!) a la función $f$, entonces usted puede escribir:

$$\lim_{n\to \infty} \int fn dx = \int \lim{n\to \infty}f_n dx = \int fdx$ $ Probaré y encuentra la fuente y agregar aquí más adelante.