¿Sé que esto puede ser una pregunta tonta, pero sé que es posible para $\sin(x)$, $0$, $1$ en valores racionales y $\frac {1}{2}$ y así sucesivamente, pero puede igual a cualquier otros valores racionales? ¿$\cos(x)$?
Respuestas
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TheCompWiz
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MJD
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Sí. Ambos son continuos y así por el Teorema del valor intermedio, toman cada valor entre -1 y 1.
Shabaz
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Erick Wong
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Usted puede estar interesado en Teorema de Niven, es que los valores sólo racionales de $\sin x$ $x$ se haya un racional múltiplo de $\pi$ (es decir, un número racional de grados) son $0$, $\pm\frac12$ y $\pm1$. Por supuesto $\sin x$ toma muchos otros valores racionales pero requieren $x/\pi$ a ser irracional.
Hay infinitamente muchas ternas Pitagóricas primitivas, es decir, se triplica $(a,b,c)$ de enteros positivos tales que $a$, $b$, y $c$ son enteros positivos $\gt 1$ tal que $a^2+b^2=c^2$.
Cualquier triple determina un triángulo rectángulo. Los senos y los cosenos de los dos ángulos no rectos son los racionales $\frac{a}{c}$$\frac{b}{c}$. Así que hay infinitamente muchos ángulos entre $0$ $\frac{\pi}{2}$ tal que $\sin x$ $\cos x$ son tanto racional.
Que son sin duda familiarizado con los triples $(3,4,5)$$(5,12,13)$. Hay infinitamente muchos más. El artículo de la Wikipedia vinculado anteriormente da una detallada descripción.
Ya podemos obtener infinidad de ejemplos dejando $n$ ser cualquier número entero $\gt 1$, y el establecimiento de $a=n^2-1$, $b=2n$, y $c=n^2+1$. Hacer que el derecho-triángulo $ABC$, con el ángulo recto en $C$, e $a,b,c$ anterior.
Tenga en cuenta que $\triangle ABC$ realmente es un derecho del triángulo, ya que $(n^2-1)^2+(2n)^2=(n^2+1)^2$.
Deje $x=\angle A$. A continuación,$\sin x=\frac{n^2-1}{n^2+1}$$\cos x=\frac{2n}{n^2+1}$. Por lo tanto ambos son racionales.
