Es "$a + 0i$" en todos los sentidos de la igualdad"$$"?

Question

Estoy teniendo una pequeña discusión con mi amigo. Él dice que "$a + 0i$" es, en todos los sentidos, absolutamente igual a "$$" (por ejemplo, de: $2 + 0i = 2$).

Yo digo que esto es prácticamente el caso, por lo que en todos los cálculos que acaba de asumir que "$a + 0i$" es igual al número real "$$" y siempre obtener los resultados correctos (esto puede no ser cierto, pero no soy experto y por lo que puedo ver es este el caso). Pero, de nuevo, creo que reducir la distancia "$+ 0i$" hace que este número no es el mismo tipo de número más, ha cambiado su estructura y no es totalmente equivalente más. Aquí es donde él dice que yo soy absolutamente equivocado.

Por lo tanto, es matemáticamente (estrictamente hablando!) perfectamente bien decir que cada número complejo con parte imaginaria de $0$ es simplemente un número real? O ¿el cambio de la estructura matemática, tanto que no puede ser matemáticamente válida, pero sólo algo que sucede a trabajar (que es lo que yo creo)?

Debo decir que creo que un número complejo es una entidad, mientras que él cree que es sólo un conglomerado de otras entitites. Así que, como dijo aquí, "$(a + bi) - bi =$", creo que es apenas un buen argumento. Pero, de nuevo: ¿es correcto a la vista $a + bi$ como una sola entidad (como "$5$" o "$2$", sólo que consta de varios símbolos)? Estoy (como un no-matemático) no, seguro que hay.

Answer 1

Bueno, sí y no. Ambos están a la derecha.

¿Qué significa ser el número 1? Este es un fascinante punto filosófico, vale la pena considerar cuidadosamente. La actitud habitual de las matemáticas modernas, es que algo está el número 1 si pertenece a un sistema en el cual se comporta como el número 1 y no hace las cosas que quieren que el número 1 para hacer. Por ejemplo, el sistema debe tener una noción de multiplicación, y debe tener $1\cdot x = x$ para cada $x$. También nos gustaría que haya algo reconocible como 2, y debemos tener $1+1=2$. Pueden existir otras propiedades que requieren de 1.

Pero hay muchos sistemas que pueden servir como modelos de los números naturales. En la aritmética de Peano, tomamos los números $0,1,2\ldots$ a ser secuencias de símbolos: $\mathbf{0}, \mathbf{S0}, \mathbf{SS0}, \ldots$. En otro sistema que nos llevan a ser los conjuntos $\varnothing, \{\varnothing\}, \{\varnothing, \{\varnothing\}\}, \ldots$. En cada sistema, estamos obligados a definir la suma y la multiplicación en una manera que hace que los números de hacer lo que se supone que, a fin de que en el primer caso debemos tener $\mathbf{S0}+\mathbf{S0} = \mathbf{SS0}$ y en el segundo caso debemos tener $\{\varnothing\}+ \{\varnothing\} = \{\varnothing, \{\varnothing\}\}$. Si no podemos hacerlo, no tenemos derecho a decir que estamos tratando con el número 1. Si podemos hacerlo, nosotros consideramos que, matemáticamente, satisfecho, y a la pregunta de si $\mathbf{S0}$ o $\{\varnothing\}$ es el número 1 no es un matemático, sino filosófica. Pero el aviso de la extraña situación en la que estamos: Cada uno de $\mathbf{S0}$ y $\{\varnothing\}$ es el número 1, pero son completamente diferentes objetos: uno es un conjunto y uno es una secuencia de símbolos. Y sin embargo cada uno tiene igualmente un buen reclamo para ser el ' número 1.

De la misma manera hay muchas maneras de construir los números complejos. Una típica construcción se inicia con el conjunto de pares $\def\c#1#2{\langle #1,#2\rangle}\c ab$ de números reales e identifica a $i$, ya que el par $\c01$. En esta construcción, el número complejo $a+bi$ es el par $\c a b$, y el número real de $x$ hace una aparición como el par $\c x0$. Este último par es no el mismo que el número real de $x$, ya que el primero es un par de números reales y el último es un único número real.

Pero, por otro lado, un par de la forma $\c x0$ se comporta igual que el número real de $x$, y el conjunto de pares se comporta como $\Bbb R$. Sus elementos se corresponden exactamente con los números reales, y hacer todas las cosas que esperamos de los números reales para hacerlo. Así, como tanto $\mathbf{S0}$ y $\{\varnothing\}$ tenía igual de buenos reclamos para ser el ' número 1, no hay ninguna razón para preferir el original de $1$ más de la par $\c 10$ como 'el' número real 1. El conjunto de $\c x0$ es $\Bbb R$ para todos los propósitos prácticos. Tanto es así que, después de haber realizado esta identificación, que se podría descartar nuestro originales de los números reales y considerar a partir de entonces sólo el conjunto de pares de la forma $\c x0$.

Hacemos lo mismo cuando nos construcción de los números reales en el primer lugar. Empezamos con los racionales, y luego construir los reales como ciertas estructuras de racionales. Después de haber hecho esto, podemos identificar ciertos reales como ser moralmente equivalente a la de los racionales que hemos empezado. Por ejemplo, podríamos observar que el par $\left\langle \left\{x\in\Bbb P \mid x\le \frac12\right\}, \left\{x\in\Bbb P \mid x\gt \frac12\right\}\right\rangle$ se comporta, en este nuevo sistema, de la misma forma esperamos que el número racional $\frac12$ comportarse. Estos nuevos números racionales no son los mismos objetos que los racionales empezamos con: aquellos que eran de un solo racionales, y estos nuevos pares de conjuntos de racionales. Pero el nuevo racionales se comportan igual que el original racionales.

(Barry Mazur del papel "Cuando una cosa es igual a otra cosa" es sobre esta misma cuestión, y se analiza en mayor longitud. Es muy legible, y lo recomiendo altamente. Muestra pullquote: "el alma y El corazón de gran parte de las matemáticas consiste en el hecho de que el "mismo" objeto puede ser que se nos presenta en diferentes formas.")

Answer 2

Primero se definen los $\mathbb{R}$, los números reales, y, a continuación, defina $\mathbb{C}$, el de los números complejos, a los pares de números $(x,y)$ de números reales que obedecer las reglas de $(x_1,y_1) + (x_2,y_2) = (x_1+x_2,y_1+y_2)$ y $(x_1,y_1)\cdot (x_2,y_2) = (x_1x_2 - y_1y_2,x_1y_2+x_2y_1)$. Si usamos la notación $a+bi$ para el par $(a,b)$, a continuación, lo que equivale a decir que $i^2=-1$ donde $i=(0,1)$. Con esta notación $\mathbb{R}$ no es en realidad un subconjunto de $\mathbb{C}$, sin embargo el conjunto de los números $(x,0)$, donde $x$ es real ahora es identificado como un subconjunto de $\mathbb{C}$, que es esencialmente el mismo que el de los números reales.

Answer 3

Una construcción común de $\mathbb C$ es $\mathbb C=\mathbb R\times\mathbb R$ con algo adecuado de la adición y la multiplicación de las leyes, es decir, $(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$ y $(a,b)\cdot(c,d)=(ac-bd,ad+bc)$ para todo $a$, $b$, $c$, $d$ en $\mathbb R$. Entonces $(1,0)$ es una unidad para esta multiplicación en $\mathbb C$ y uno define $i=(0,1)$. Por lo tanto, cada $(a,b)$ en $\mathbb C$ también $(a,0)+(b,0)\cdot i$, abreviado como $a+b\cdot i$.

En este sentido, $2+0\cdot i=(2,0)$ es un elemento de $\mathbb C$ mientras $2$ es un elemento de $\mathbb R$, por lo tanto, estos no coinciden, a menos de 2 $$ significa realmente el elemento $(2,0)$ de $\mathbb C$. Cada $(a,0)$ con $un$ en $\mathbb R$ es, de hecho, a menudo abreviado como $un$. Esto corresponde a la identificación de $\mathbb R$ con $J(\mathbb R)$, donde $J:\mathbb R\to\mathbb C$ se define por $J(a)=(a,0)$ para todo $a$ en $\mathbb R$.

Answer 4

Un lugar que importa es menos puramente matemático y más acerca de qué información se puede obtener sobre el contexto de la serie.

Considere esto: en algunas ocasiones, usted verá un número con el signo conectado, incluso si el signo es positivo. Lo que este le dice al lector es lo que esperamos que los números en este contexto en particular podría potencialmente ser negativo, pero que hoy en día es positivo.

Del mismo modo, cuando usted ve un número como 23.00, esperamos que los números en este contexto en particular podría potencialmente tener dos decimales, el valor de las fracciones como parte de ella, pero que hoy en día es todo.

Siguiendo este patrón, 2 + 0i dice que un número en este contexto en particular podría potencialmente tener una parte compleja, pero que hoy en día no.

Answer 5

es matemáticamente (estrictamente hablando!) perfectamente bien decir que cada número complejo con parte imaginaria de 0 es simplemente un número real?

En resumen: sí, lo es.

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Desarrollo:

Definimos (como una convención) el conjunto de los números complejos como un superconjunto de los números reales, porque es conveniente hacerlo. De hecho, todas las operaciones algebraicas definidas en los números complejos funcionan de la misma en los números reales y estabilizar el conjunto de los números reales.

Uno podría argumentar que el habitual en las construcciones de los números complejos son no superconjunto de los números reales. La más común de estas construcciones es definir operaciones algebraicas en $\mathbb{R}^2$, y el más elegante sé que es de $\mathbb{R}[X]/(X^2 + 1)$.

Pero el punto principal de este tipo de construcción es sólo para demostrar que es posible tener un conjunto con estructura algebraica. Una vez que está hecho, no hay ninguna razón para no decidir que todos los números reales son números complejos.

La cuestión es prácticamente el mismo al construir los números reales a partir de los números racionales (e.g como conjuntos de los números racionales), y los números racionales a partir de los números enteros (e.g como pares de números enteros). No estamos contentos de que estos conjuntos son todos anidados?

Por último, si usted decide de todos modos que $\mathbb{R}$ no es un subconjunto de $\mathbb{C}$, entonces $a + 0i$ probablemente no tiene sentido, porque además no se define a través de conjuntos.