Supongo que la instrucción es la siguiente. Mi versión del problema que se declaró un poco torpe porque quiero incluyen los casos donde el irrationals no son necesariamente distintos. Mi prueba se basa en el Axioma de Elección.
Problema. Dado son 2n+1 números irracionales t0,t1,t2,…,t2n. Demostrar que no existe n+1 de ellos, dicen, ti0,ti1,ti2,…,tin, with indices i0,i1,i2,…,in satisfying 0≤i0<i1<i2<…<in≤2n, such that any sum of the form tij0+tij1+tij2+…+tijk,for some k∈{0,1,2,…,n} and indices j0,j1,j2,…,jk with 0≤j1<j2<…<jk≤n, es irracional.
Elige una base {1}∪B de R sobre Q. Orden bien B con una orden de ◃. Para cada una de las b∈{1}∪B, vamos a πb:R→Q ser la proyección de envío de x=∑a∈{1}∪Braa a rb, donde ra∈Q para a∈{1}∪B con un número finito distinto de cero términos. Entonces, existe un orden lexicográfico ≺ en el cociente del espacio de R/Q como sigue. Para x,y∈R/Q, podemos decir x≺y si existe b∈B tal que πb(y−x)>0 y por cada a∈B tal que a◃b, πa(y−x)=0. Mostrar que ≺ es un orden total en R/Q, y es compatible con la adición, es decir, si x,y,z,w∈R/Q satisfacer x⪯y e z⪯w, luego
x+z⪯y+w.
Decimos que x∈R/Q es pozitiv si 0≺x, e x es negaziv si x≺0. Desde la 2n+1 números son irracionales, hay imágenes bajo el cociente mapa de R→R/Q son nonvanishing. Por lo tanto, al menos n+1 son pozitiv, o al menos n+1 de ellos son negaziv. A continuación, tome la n+1 pozitiv elementos, o n+1 negaziv elementos para completar la prueba.