Tenemos números irracionales de $2n+1$, luego existe $n+1$ tales que cada subconjunto de este conjunto con elementos de #% de #% % tiene la suma de un número irracional.

Question

Mostrar que si se nos da un conjunto $S$ contiene $2n+1$ números irracionales, existe un subconjunto $T\subset S$ contiene $n+1$ elementos, de tal manera que todos los no-vacío es subconjunto de a$T$ sumas de dinero a un número irracional.

Traté de considerar una relación de equivalencia en números reales: dos elementos son equivalentes iff la diferencia de ellos es irracional. A continuación, $n+1$ clases de equivalencia de cada uno tiene un representante que es "positivo" o "negativo" ... pero no sé caliente para continuar.

Alguna idea? Gracias!

Answer 1

Podemos resolver esto a través de un adecuado etiquetado técnica: podemos asociar a cada elemento de a$\{a_1,\ldots,a_{2n+1}\}$ un vector en $\mathbb{R}^{2n+1}$. Empezamos por la asociación de a $a_1$ el vector $(1,0,0,0,\ldots)$, luego de procesar $a_2,a_3,\ldots$ según el siguiente algoritmo:

• Si todos los subconjuntos de a$\{a_1,\ldots,a_n\}$ incluyen $a_n$ han irracional sumas, asociamos a $a_n$ el vector $v_n$ con $1$ en la $n$-ésima posición de los ceros en cualquier otro lugar (codificación de la idea de que $a_n$ da algo nuevo con respecto a la anterior estructura aditiva);
• De lo contrario, consideramos que el más pequeño (de acuerdo a la orden lexicographic) subconjunto de $\{a_1,\ldots,a_n\}$, incluyendo a $a_n$, con un racional suma: si se es $\{a_{k_1},a_{k_2},\ldots,a_{k_h},a_n\}$, asociamos a $a_n$ el vector $-v_{k_1}-v_{k_2}-\ldots-v_{k_h}$ (codificación de la idea de que "$a_n$ no traer algo nuevo con respecto a la anterior estructura aditiva")

Si te las arreglas para demostrar que la suma de las coordenadas de $v_n$ nunca es cero, se tiene que, al menos, $n+1$ entre vectores $v_1,\ldots,v_{2n+1}$ pertenecen a la misma la mitad de espacio- $\sum x_k>0$ o $\sum x_k<0$ y que están asociados a una $(n+1)$-subconjunto de $\{a_1,\ldots,a_{2n+1}\}$ con el querido de la propiedad.

Answer 2

Supongo que la instrucción es la siguiente. Mi versión del problema que se declaró un poco torpe porque quiero incluyen los casos donde el irrationals no son necesariamente distintos. Mi prueba se basa en el Axioma de Elección.

Problema. Dado son $2n+1$ números irracionales $t_0,t_1,t_2,\ldots,t_{2n}$. Demostrar que no existe $n+1$ de ellos, dicen, $$t_{i_0},t_{i_1},t_{i_2},\ldots,t_{i_n}\,,$$ with indices $i_0,i_1,i_2,\ldots,i_n$ satisfying $0\leq i_0<i_1<i_2<\ldots<i_n\leq 2n$, such that any sum of the form $$t_{i_{j_0}}+t_{i_{j_1}}+t_{i_{j_2}}+\ldots+t_{i_{j_k}}\,,$$ for some $k\in\{0,1,2,\ldots,n\}$ and indices $j_0,j_1,j_2,\ldots,j_k$ with $0\leq j_1<j_2<\ldots<j_k\leq$n, es irracional.

Elige una base $\{1\}\cup\mathcal{B}$ de $\mathbb{R}$ sobre $\mathbb{Q}$. Orden bien $\mathcal{B}$ con una orden de $\triangleleft$. Para cada una de las $b\in\{1\}\cup\mathcal{B}$, vamos a $\pi_b:\mathbb{R}\to\mathbb{Q}$ ser la proyección de envío de $x=\sum\limits_{a\in\{1\}\cup\mathcal{B}}r_aa$ a $r_b$, donde $r_a\in\mathbb{Q}$ para $a\in\{1\}\cup\mathcal{B}$ con un número finito distinto de cero términos. Entonces, existe un orden lexicográfico $\prec$ en el cociente del espacio de $\mathbb{R}/\mathbb{Q}$ como sigue. Para $x,y\in\mathbb{R}/\mathbb{Q}$, podemos decir $x\prec y$ si existe $b\in \mathcal{B}$ tal que $\pi_b(y-x)>0$ y por cada $a\in\mathcal{B}$ tal que $a\triangleleft b$, $\pi_a(y-x)= 0$. Mostrar que $\prec$ es un orden total en $\mathbb{R}/\mathbb{Q}$, y es compatible con la adición, es decir, si $x,y,z,w\in\mathbb{R}/\mathbb{Q}$ satisfacer $x\preceq y$ e $z\preceq w$, luego $$x+z\preceq y+w\,.$$

Decimos que $x\in\mathbb{R}/\mathbb{Q}$ es pozitiv si $0\prec x$, e $x$ es negaziv si $x\prec 0$. Desde la $2n+1$ números son irracionales, hay imágenes bajo el cociente mapa de $\mathbb{R}\to\mathbb{R}/\mathbb{Q}$ son nonvanishing. Por lo tanto, al menos $n+1$ son pozitiv, o al menos $n+1$ de ellos son negaziv. A continuación, tome la $n+1$ pozitiv elementos, o $n+1$ negaziv elementos para completar la prueba.