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Tenemos números irracionales de 2n+12n+1, luego existe n+1n+1 tales que cada subconjunto de este conjunto con elementos de #% de #% % tiene la suma de un número irracional.

Mostrar que si se nos da un conjunto SS contiene 2n+12n+1 números irracionales, existe un subconjunto TSTS contiene n+1n+1 elementos, de tal manera que todos los no-vacío es subconjunto de aTT sumas de dinero a un número irracional.

Traté de considerar una relación de equivalencia en números reales: dos elementos son equivalentes iff la diferencia de ellos es irracional. A continuación, n+1n+1 clases de equivalencia de cada uno tiene un representante que es "positivo" o "negativo" ... pero no sé caliente para continuar.

Alguna idea? Gracias!

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Roger Hoover Puntos 56

Podemos resolver esto a través de un adecuado etiquetado técnica: podemos asociar a cada elemento de a{a1,,a2n+1}{a1,,a2n+1} un vector en R2n+1. Empezamos por la asociación de a a1 el vector (1,0,0,0,), luego de procesar a2,a3, según el siguiente algoritmo:

  • Si todos los subconjuntos de a{a1,,an} incluyen an han irracional sumas, asociamos a an el vector vn con 1 en la n-ésima posición de los ceros en cualquier otro lugar (codificación de la idea de que an da algo nuevo con respecto a la anterior estructura aditiva);
  • De lo contrario, consideramos que el más pequeño (de acuerdo a la orden lexicographic) subconjunto de {a1,,an}, incluyendo a an, con un racional suma: si se es {ak1,ak2,,akh,an}, asociamos a an el vector vk1vk2vkh (codificación de la idea de que "an no traer algo nuevo con respecto a la anterior estructura aditiva")

Si te las arreglas para demostrar que la suma de las coordenadas de vn nunca es cero, se tiene que, al menos, n+1 entre vectores v1,,v2n+1 pertenecen a la misma la mitad de espacio- xk>0 o xk<0 y que están asociados a una (n+1)-subconjunto de {a1,,a2n+1} con el querido de la propiedad.

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wujj123456 Puntos 171

Supongo que la instrucción es la siguiente. Mi versión del problema que se declaró un poco torpe porque quiero incluyen los casos donde el irrationals no son necesariamente distintos. Mi prueba se basa en el Axioma de Elección.

Problema. Dado son 2n+1 números irracionales t0,t1,t2,,t2n. Demostrar que no existe n+1 de ellos, dicen, ti0,ti1,ti2,,tin, with indices i0,i1,i2,,in satisfying 0i0<i1<i2<<in2n, such that any sum of the form tij0+tij1+tij2++tijk,for some k{0,1,2,,n} and indices j0,j1,j2,,jk with 0j1<j2<<jkn, es irracional.

Elige una base {1}B de R sobre Q. Orden bien B con una orden de . Para cada una de las b{1}B, vamos a πb:RQ ser la proyección de envío de x=a{1}Braa a rb, donde raQ para a{1}B con un número finito distinto de cero términos. Entonces, existe un orden lexicográfico en el cociente del espacio de R/Q como sigue. Para x,yR/Q, podemos decir xy si existe bB tal que πb(yx)>0 y por cada aB tal que ab, πa(yx)=0. Mostrar que es un orden total en R/Q, y es compatible con la adición, es decir, si x,y,z,wR/Q satisfacer xy e zw, luego x+zy+w.

Decimos que xR/Q es pozitiv si 0x, e x es negaziv si x0. Desde la 2n+1 números son irracionales, hay imágenes bajo el cociente mapa de RR/Q son nonvanishing. Por lo tanto, al menos n+1 son pozitiv, o al menos n+1 de ellos son negaziv. A continuación, tome la n+1 pozitiv elementos, o n+1 negaziv elementos para completar la prueba.

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