Un amigo mío me hizo la siguiente pregunta: ¿Cómo puedo demostrar que un local homeomorphism $f:M \to N$ entre los colectores se cierra el fib es correcto?
Es bien conocido y fácil probar que si $f$ es correcto, entonces f es cerrado, pero no soy capaz de demostrar lo contrario y, siendo honesto, no estoy seguro de que es realmente cierto, pero tampoco fue capaz de proporcionar un contraejemplo.
Pregunta: ¿Cómo puedo demostrar que si $f$ es cerrado, es correcto?
El resultado es true. Desde los espacios de $M$ e $N$ son colectores, podemos suponer que son espacios métricos con las métricas de $d_M$ e $d_N$.
Tomar un compacto $K \subset N$. Tenemos el conjunto cerrado $F =f^{-1}K$. Supongamos $F$ no es compacto. Tenemos una secuencia $x_n \in F$ que no admiten convergente larga. Desde $K$ es compacto, podemos suponer $fx_n$ converge a un punto de $y\in K$. Podemos suponer $x_n$ no tienen repetir plazo.
Aviso de $D = \{x_n \in X:n \in \mathbb N\}$ es discreto y cerrado, debido a que $x_n$ no admitir convergente subsecuencias. Por hipótesis, el mapa de $f$ es cerrado y por lo tanto $fD$ es cerrado. Así, debemos tener $y \in fD$.
Ahora vamos a analizar dos casos posibles:
Primer caso: Si $I = \{n \in \mathbb N: fx_n \neq y\}$ es un conjunto infinito, entonces considere el conjunto cerrado $D' = \{x_n \in X: n \in I\} \subset M$ y tenemos $fD' \subset N$ es cerrado. Desde $y$ es un punto límite de $fD'$, tenemos una contradicción.
Segundo caso: Si $I = \{n \in \mathbb N: fx_n = y\}$ es un conjunto infinito, a continuación, para cada $k \in I$ tomar un vecindario $U_k$ de $x_k$ tal que $fU_k$ es abierto y $f:U_k \to fU_k$ es homeomorphism. La reducción de la open vecindarios $U_k$ si es necesario, podemos suponer $U_k \cap U_l = \emptyset$ si $k\neq l$. Para cada una de las $k\in I$ tome $z_k \in U_k \setminus \{x_k\}$ tal que $d_M(z_k,x_k)<1/k$ e $d_N(fz_k,y)<1/k$. Tenemos $D' = \{z_k \in X: k\in I\}$ es un cerrado discretos subconjunto de $M$ y, por lo tanto, $fD'$ es cerrado en $N$, lo cual es una contradicción, porque $y$ es un punto límite de $fD'$ e $y \not \in fD'$.
Por lo tanto, $F$ debe ser compacto.
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