Un amigo mío me hizo la siguiente pregunta: ¿Cómo puedo demostrar que un local homeomorphism f:M→Nf:M→N entre los colectores se cierra el fib es correcto?
Es bien conocido y fácil probar que si ff es correcto, entonces f es cerrado, pero no soy capaz de demostrar lo contrario y, siendo honesto, no estoy seguro de que es realmente cierto, pero tampoco fue capaz de proporcionar un contraejemplo.
Pregunta: ¿Cómo puedo demostrar que si ff es cerrado, es correcto?
El resultado es true. Desde los espacios de MM e NN son colectores, podemos suponer que son espacios métricos con las métricas de dMdM e dNdN.
Tomar un compacto K⊂NK⊂N. Tenemos el conjunto cerrado F=f−1KF=f−1K. Supongamos FF no es compacto. Tenemos una secuencia xn∈Fxn∈F que no admiten convergente larga. Desde KK es compacto, podemos suponer fxnfxn converge a un punto de y∈Ky∈K. Podemos suponer xnxn no tienen repetir plazo.
Aviso de D={xn∈X:n∈N} es discreto y cerrado, debido a que xn no admitir convergente subsecuencias. Por hipótesis, el mapa de f es cerrado y por lo tanto fD es cerrado. Así, debemos tener y∈fD.
Ahora vamos a analizar dos casos posibles:
Primer caso: Si I={n∈N:fxn≠y} es un conjunto infinito, entonces considere el conjunto cerrado D′={xn∈X:n∈I}⊂M y tenemos fD′⊂N es cerrado. Desde y es un punto límite de fD′, tenemos una contradicción.
Segundo caso: Si I={n∈N:fxn=y} es un conjunto infinito, a continuación, para cada k∈I tomar un vecindario Uk de xk tal que fUk es abierto y f:Uk→fUk es homeomorphism. La reducción de la open vecindarios Uk si es necesario, podemos suponer Uk∩Ul=∅ si k≠l. Para cada una de las k∈I tome zk∈Uk∖{xk} tal que dM(zk,xk)<1/k e dN(fzk,y)<1/k. Tenemos D′={zk∈X:k∈I} es un cerrado discretos subconjunto de M y, por lo tanto, fD′ es cerrado en N, lo cual es una contradicción, porque y es un punto límite de fD′ e y∉fD′.
Por lo tanto, F debe ser compacto.
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