Prueba $\int^{\infty}_0e^{-ax}\frac{1-\cos x}{x^2}\mathrm{d}x=\arctan\frac{1}{a}-\frac{a}{2}\ln(a^2+1)$, donde $a>0$

Question

¿Cómo probar <span class="math-container">$\int^{\infty}_0e^{-ax}\frac{1-\cos(x)}{x^2}\mathrm{d}x=\arctan\frac{1}{a}-\frac{a}{2}\ln(a^2+1)$</span>, donde <span class="math-container">$a>0$</span>?

No tengo idea como empezar.

Answer 1

La siguiente respuesta asume una propuesta corrección a la declaración del problema.

Dejó así <span class="math-container">$f(a):=\int_0^\infty\frac{1-\cos x}{x^2}\exp -ax dx$</span> <span class="math-container">$$f''(a)=\int_0^\infty (1-\cos x)\exp -ax dx=\frac{1}{a}-\frac{a}{a^2+1}.$$Thus constants <span class="math-container">$B,\,C$</span> exist with <span class="math-container">$$f(a)=-\frac{a}{2}\ln (a^{-2}+1)-\arctan a+Ba+C.$$</span>Since <span class="math-container">$f (\infty) = 0\implies B=0,\,C=\frac{\pi}{2}$</span> and <span class="math-container">$\arctan\frac{1}{a}=\frac{\pi}{2}-\arctan a$</span>, hemos terminado.</span>