¿$f(x,y) :=$ Min {x, y} y $g:\mathbb{R^n} \to \mathbb{R}$ $g(x) := \left\lVert x \right\rVert_2$ parcialmente diferenciables?

Question

Tengo que averiguar si la función de $f: \mathbb{R^2} \to \mathbb{R}$ con $f(x,y) :=$ min{x,y} y la función de $g:\mathbb{R^n} \to \mathbb{R}$ con $g(x) := \left\lVert x \right\rVert_2$ están parcialmente diferenciable. Además, tengo que encontrar la gradientes $\nabla f(a)$ e $\nabla g(a)$ para todos los puntos de $a$, en caso de existir.

Sé que $\min \text {{x,y}} = \frac{1}{2} (x+y-|x-y|)$.

$\left\lVert x \right\rVert_2$ = $\sqrt {\sum_{k=1}^n x_i^2 }$

Por lo que el parcial derivado $\frac{\partial g}{\partial x_i}$ para un genérico $x_i$ sería

$$\frac{\partial f}{\partial x_i} = \frac{1}{2\sqrt{\sum_{k=1}^n x_i^2}}\cdot2x_i = \frac{x_i}{\left\lVert x \right\rVert}$$ y el gradiente de g es $\nabla g= \frac{1}{\left\lVert x \right\rVert}\cdot x$

Aunque creo que es una prueba que requiere más...

Answer 1

$f$ tiene derivada parcial de w.r.t. $x$ en todos los puntos de $(x,y)$ con $x \neq y$ , tiene derivada parcial de w.r.t. $y$ en todos los puntos de $(x,y)$ con $x \neq y$, e $g$ no tiene derivada parcial en $0$. En otros puntos, los cálculos están bien. Justificación: por un determinado número real $a$ la función de $\max \{x,a\}$ es diferenciable en todo punto excepto en $a$. No es diferenciable en a$a$ porque la mano derecha derivada en $$ is $1$ and the left hand derivative is $0$. El resto debe ser clara.