La propiedad descrita (llamémosla propiedad Zapala), no se cumple en muchos espacios "típicos". La siguiente proposición muestra que Zapala está lejos de lo que se podría llamar una propiedad débil:
Proposición. Si $X$ es Hausdorff y Zapala, entonces $X$ es discreto.
Prueba. Supongamos que $X$ es un contraejemplo a la afirmación. Como $X$ no es discreto, sea $a\in X$ tal que $\{a\}$ no es abierto. Sea $b\in X\setminus\{a\}$ (esto es posible porque el espacio de un punto es discreto). Por la propiedad de Hausdorff, existen conjuntos abiertos $U,V$ con $a\in U$, $b\in V$, $U\cap V=\emptyset$. Ahora sea $A=U$ y $B=(X\setminus U)\cap\{a\}$. Entonces $A$ es abierto, $B$ es cerrado con $b\in V\subseteq\operatorname{int}(B)$, y $A\cap B=\{a\}\ne\emptyset$. Sin embargo, $a\notin\operatorname{int}(B)$ ya que hacerlo haría que $\{a\}=U\cap\operatorname{int}(B)$ sea abierto. $\square$
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Si $U$ es abierto, los espacios topológicos típicos no extraños hacen que $\operatorname{int}(U\cup\{x\})=U$. En estos, tu propiedad no se cumplirá. -- La discreción sería una condición adicional adecuada