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Intersección de conjunto cerrado y abierto

En un espacio topológico arbitrario, sea $A$ abierto y $B$ cerrado. Si $\text{int}(B) \neq \emptyset$ y $A \cap B \neq \emptyset$, ¿se garantiza que $A \cap \text{int}(B) \neq \emptyset$? Si no, ¿existe alguna condición adicional razonablemente débil que pueda asegurarlo?

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Si $U$ es abierto, los espacios topológicos típicos no extraños hacen que $\operatorname{int}(U\cup\{x\})=U$. En estos, tu propiedad no se cumplirá. -- La discreción sería una condición adicional adecuada

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user10354138 Puntos 1302

No. Ni siquiera se cumple en $\mathbb{R}$, incluso bajo un supuesto de mayor cardinalidad de $A\cap B$.

Por ejemplo, $A=(-1,2)$, $B=K\cup [2,3]$, donde $K$ es el conjunto de Cantor. Entonces $\operatorname{int}B=(2,3)$, $A\cap B=K$ tiene cardinalidad $c$, pero $A\cap\operatorname{int}B=\varnothing$.

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¿Qué sucede si $\text{cl}(A \cap B)$ está prohibido de ser un conjunto frontera?

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@MichaZapaa ¿Qué quieres decir con un "conjunto de límites"?

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El conjunto de límites es aquel con interior vacío.

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Hagen von Eitzen Puntos 171160

La propiedad descrita (llamémosla propiedad Zapala), no se cumple en muchos espacios "típicos". La siguiente proposición muestra que Zapala está lejos de lo que se podría llamar una propiedad débil:

Proposición. Si $X$ es Hausdorff y Zapala, entonces $X$ es discreto.

Prueba. Supongamos que $X$ es un contraejemplo a la afirmación. Como $X$ no es discreto, sea $a\in X$ tal que $\{a\}$ no es abierto. Sea $b\in X\setminus\{a\}$ (esto es posible porque el espacio de un punto es discreto). Por la propiedad de Hausdorff, existen conjuntos abiertos $U,V$ con $a\in U$, $b\in V$, $U\cap V=\emptyset$. Ahora sea $A=U$ y $B=(X\setminus U)\cap\{a\}$. Entonces $A$ es abierto, $B$ es cerrado con $b\in V\subseteq\operatorname{int}(B)$, y $A\cap B=\{a\}\ne\emptyset$. Sin embargo, $a\notin\operatorname{int}(B)$ ya que hacerlo haría que $\{a\}=U\cap\operatorname{int}(B)$ sea abierto. $\square$

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¿No es $(X\setminus U)\cap\{a\}=\emptyset$?

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Parecería que "Propiedad de Zapaa" dicta $int(cl(\{x\})) \neq \emptyset$, por lo que cualquier "espacio $T_1$ me" sería discreto.

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Mirko Puntos 5620

Ya hay dos respuestas que muestran que la respuesta es no, aquí hay un ejemplo más.
En el plano, sea $B$ el disco unitario cerrado junto con el eje x positivo. Sea $A$ el semiplano $x>2$. Su intersección (no está vacía pero) tiene interior vacío.

Con respecto a la "condición adicional razonablemente débil", puedes imponer la condición de que $B$ sea regularmente cerrado, es decir, $B=\text{cl}(\text{int}(B))$.
Elige cualquier $p\in A \cap B$ y asume que $A \cap \text{int}(B) = \emptyset$.
Pero entonces, dado que $A$ es abierto, tenemos que $A \cap \text{cl}(\text{int}(B))=\emptyset$, una contradicción.

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