Solución simultánea de % de $x^3+y^3+1+6xy=0$ & $xy^2+y+x^2=0$

Question

Estoy tratando de resolver el siguiente sistema de ecuaciones no lineales en los números reales:

$x^3+y^3+1+6xy=0$ & $xy^2+y+x^2=0$, $x,y$ real.

Sólo puedo ver que $xy\ne 0$.

No tengo ni idea de si existe una solución o no, y cómo encontrar ninguna solución. Me parecen no ser capaces de separar $x,y$ o escribir en una buena forma paramétrica.

Por favor, ayudar.

Answer 1

El conjunto de ecuaciones tiene tres soluciones reales:

$$(x,y) = \left(\frac{1}{y_2},y_1\right), \left(\frac{1}{y_3},y_2\right), \left(\frac{1}{y_1},y_3\right) $$

donde $y_1 = 2\cos\frac{\pi}{9}$, $y_2 = 2\cos\frac{7\pi}{9}$ e $y_3 = 2\cos\frac{13\pi}{9}$.

Para derivar de ellos, vamos a explotar una simetría oculta debajo del conjunto de ecuaciones.

Introducir las variables de $(X,Y,Z)$ y deje $(x,y) = \left(\frac{X}{Z},\frac{Y}{Z}\right)$, tenemos $$\begin{align} x^3 + y^3 + 1 + 6xy = 0 & \iff X^3 + Y^3 + Z^3 + 6XYZ = 0 \tag{*1a}\\ xy^2 + y + z^2 = 0 &\iff XY^2 + YZ^2 + X^2Z = 0\tag{*1b} \end{align} $$ Deje $u = \frac{Y}{Z}, v = \frac{Z}{X}, w = \frac{X}{Y}$, tenemos $uvw = 1$.

Dividir RHS(*1a) por $XYZ$, obtenemos

$$\frac{w}{v} + \frac{u}{w} + \frac{v}{u} + 6 = \frac{X^2}{YZ} + \frac{Y^2}{XZ} + \frac{Z^2}{XY} + 6 = 0$$ Multiplicar ambos lados por $uvw = 1$, obtenemos $$w^2 u + u^2v + v^2w + 6 = 0 \tag{*2}$$ Del mismo modo, dividir RHS(*1b) por $XYZ$ nos dan $$u + v + w = \frac{Y}{Z} + \frac{Z}{X} + \frac{X}{Y} = 0$$

Deje $\omega = e^{\frac{2\pi}{3}i}$ ser la raíz cúbica de la unidad. Desde $u+v+w = 0$, podemos encontrar dos números complejos $a, b$ tales que

$$\begin{cases} u &= a + b\\ v &= a\omega + b\omega^2\\ w &= a\omega^2 + b\omega \end{casos}\etiqueta{*3}$$ En términos de $a,b$, la condición de $uvw = 1$ reduce a

$$a^3 + b^3 = (a+b)(a\omega + b\omega^2)(a\omega^2+b\omega) = uvw = 1$$ Sustituto de la parametrización (*3) (*2) y simplificar, se obtiene

$$3a^3\omega + 3b^3\omega^2 + 6 = 0 \iff a^3\omega + b^3\omega^2 = - 2$$

La resolución de este último dos ecuaciones nos dan

$$(a^3, b^3 ) = ( -\omega^2, -\omega ) = \left( e^{\frac{\pi}{3}i}, e^{-\frac{\pi}{3}i}\right)$$

Estamos buscando soluciones reales a $(x,y)$, tenemos $u = a + b$ e $v = a\omega + b\bar{\omega}$ a ser real. Esto obliga a $b = \bar{a}$ y hay tres posibilidades:

$$a = \bar{b} = e^{\frac{\pi}{9}i}, e^{\frac{7\pi}{9}i}, e^{\frac{13\pi}{9}i} \implica (u,v,w) = (y_1,y_2,y_3), (y_2,y_3,y_1), (y_3,y_1,y_2)$$

Aviso de $(x,y) = (v^{-1},u)$, las tres soluciones reales de que el problema siga.

Answer 2

No es muy satisfactoria respuesta, ya que implica el cúbicos fórmula...

Set $u = xy$. Multiplicar la primera ecuación por $x^3$ y el segundo por $x$. A continuación, obtenemos

$x^6+u^3+x^3+6ux^3 = 0$

$u^2+u+x^3 = 0$

La solución para $x^3$ en el segundo y sustituyendo en la primera, obtenemos

$u^4+2u^3+u^2+u^3-u^2-u+6u(-u^2-u)=0$

$u^4+2u^3+u^2+u^3-u^2-u-6u^3-6u^2=0$

$u^4-3u^3-6u^2-u=0$

$u^3-3u^2-6u-1=0$

Que pueden ser resueltos por el cúbicos fórmula. Una vez hecho esto, $u$ puede ser sustituido de nuevo para encontrar a $x$. A continuación, podemos encontrar $y$.