Considerando conjuntos en pruebas

Question

Con el fin de mostrar que $\forall x\gt0, \ \exists n_0\in \mathbb N: \ n_0(n_0+1)\le x\lt (n_0+1)(n_0+2)$, la prueba de ello en mi libro de texto considera el conjunto $A=\{n\in \mathbb N :n(n+1)\le x\}$ y, a continuación, va a mostrar que el $A$ tiene un elemento maximal $n_0$, lo que completa la prueba.

Ahora, quiero saber lo que ha llevado a este tipo de argumento, porque he empezado a ver muy a menudo e incluso algunos de mis compañeros de clase suelen utilizar este método. Pero a mí no parece ser muy útil, y yo ciertamente no sería capaz de decir si es una buena manera de acercarse a una cierta prueba.

Entiendo que tales motivaciones generalmente no pueden ser explicados fácilmente; en ese caso, yo estoy pidiendo para otros problemas que saber de que se utilice un enfoque similar.

Answer 1

Cada uno tiene su propia manera de probar las cosas, y eso está bien. La declaración que hizo puede ser demostrado para ser verdad de diferentes maneras, y lo que cuenta es que se lo puede comprobar, no se cómo se lo puede comprobar. La manera de aprender cómo demostrar es que se puede demostrar de muchas otras declaraciones así, y luego te acostumbras a ella. Repetitio mater studiorum est.

Sin embargo, si desea un camino que conduce a la particular de la prueba, en este caso, mis pensamientos se procederá de la siguiente manera:

1. Miro a la declaración. OK, es decir que puedo exprimir toda reales positivos $x$ entre dos números. OK, imaginemos que el $x$ como algún punto positivo de la línea real.
2. Hmm, los dos números, $n_0(n_0+1)$ e $(n_0+1)(n_0+2)$ son ambos enteros.
3. No sólo son números enteros, que son dos números enteros a partir de una secuencia progresión de los números enteros, $a_n = n(n+1)$.
4. Así que... esta secuencia de números enteros, es realmente una serie de puntos en la recta real. Vamos a imaginar como cruces. (sí, de verdad, es lo que hago. No juzgues a) El orden que yo haga es de izquierda a derecha.
5. Así que lo que ahora tenemos es la declaración de que no existen dos cruces, de manera que el anterior de la cruz está a la izquierda de $x$, y el siguiente es a la derecha. Bueno... seguro que sí! Sólo tengo que encontrar la última cruzada sobre la izquierda de $x$, y el siguiente debe estar a la derecha de la misma (de lo contrario, la anterior no era el último!).
6. OK, lo acabo de decir en el punto 5, se puede decir oficialmente como "necesito encontrar el valor máximo de $n$ tal que $a_n < x$. Esto se puede expresar formalmente como la búsqueda de un máximo elemento de un conjunto.

Una vez que este tren de pensamiento, concluye, voy a realmente la escritura de la prueba, y la prueba "comienza" con la introducción de la serie. Asegúrese de que, de la prueba, pero el proceso de pensamiento que me llevan a la prueba comenzó mucho antes.

Answer 2

Por ejemplo, supongamos $a,b$ ser números naturales con $1\leq b\leq a$. A continuación, consideremos el conjunto $A=\{a-qb\mid a-qb\geq 0, q\geq 0\}$. Dado que el conjunto de los números naturales es bien ordenado, cada subconjunto no vacío $A$ de los números naturales tiene un elemento menos, aquí $r = a-qb$ en $A$. Es entonces claro que $a=qb+r$ e $0\leq r<b$ es el resto.

Answer 3

Para responder a su pregunta

Ahora, quiero saber lo que ha llevado a este tipo de argumento

Mira esta parte de la prueba

y a continuación se va a mostrar que $A$ tiene un elemento maximal $n_0$, lo que completa la prueba.

La forma en que el conjunto es construir hace trivial demostrar que el conjunto es finito, por tanto, tiene un elemento maximal. Esta trivialidad es una razón por la que se utiliza un conjunto. Otras pruebas que requieren la existencia de un máximo/mínimo elemento podría seguir el mismo enfoque.

Por supuesto, el proceso de pensamiento va a ser como se indica por 5xum.

Answer 4

Esta no es la única manera de resolver el problema, y ​​podría decirse que utiliza la teoría de conjuntos cuando no hay necesidad de hacerlo. Puede probar el reclamo directamente mediante una inducción fácil (que estoy seguro de que puede hacer). También tenga en cuenta que la inducción es necesaria, esté o no oculta. ¡Es lógicamente no trivial (y requiere inducción) para mostrar que el conjunto en su pregunta tiene un máximo!