Encontrar la distribución del rango de la muestra para una población Beta

Question

Dejemos que $X_1,X_2,\ldots,X_n$ sean variables aleatorias i.i.d con densidad

$$f(x)=2(1-x)\mathbf1_{0<x<1}$$

Estoy tratando de derivar la distribución del rango de la muestra $R=X_{(n)}-X_{(1)}$ .

La forma habitual de hacer estos problemas es encontrar primero la densidad conjunta de $(R,S)$ tomando $S=X_{(1)}$ y luego encontrar la distribución de $R$ como una densidad marginal. Esto es bastante sencillo en general porque conocemos la distribución conjunta de $(X_{(1)},X_{(n)})$ . Sin embargo, para este problema en particular, la integración para encontrar el pdf marginal es bastante engorroso para evaluar a mano.

Para distribuciones absolutamente continuas, se demuestra fácilmente mediante un cambio de variables que la densidad conjunta de $(R,S)$ viene dada por

$$f_{R,S}(r,s)=n(n-1)(F(r+s)-F(s))^{n-2}f(s)f(r+s)\mathbf1_{s<r+s}$$

, donde $F$ es la función de distribución de la población.

Así que aquí tengo después de la simplificación

$$f_{R,S}(r,s)=4n(n-1)(r(2-2s-r))^{n-2}(1-s)(1-r-s)\mathbf1_{0<s<r+s<1}$$

Eso significa que el pdf de $R$ para $0<r<1$ debe ser

\begin{align} f_R(r)&=\int_0^{1-r}f_{R,S}(r,s)\,ds \\&=4n(n-1)r^{n-2}\int_0^{1-r}(2-2s-r)^{n-2}(1-s)(1-r-s)\,ds \end{align}

Ahora integro por partes $$I=\int_0^{1-r}(2-2s-r)^{n-2}(1-s)(1-r-s)\,ds$$

señalando que $$d\,[(1-s)(1-r-s)]=(2s+r-2)\,ds$$

Omitiendo algunos detalles, obtengo

\begin{align} I&=\left[(1-s)(1-r-s)\frac{(2-2s-r)^{n-1}}{2(1-n)}\right]_0^{1-r}+\int_0^{1-r}\frac{(2-2s-r)^n}{2(1-n)}\,ds \\\\&=\frac{(r-1)(2-r)^{n-1}}{2(1-n)}-\frac{1}{4(1-n)}\int_{2-r}^{r}t^n\,dt \\\\&=\frac{(r-1)(2-r)^{n-1}}{2(1-n)}+\frac{1}{4(n^2-1)}\left[r^{n+1}-(2-r)^{n+1}\right] \end{align}

Aunque no lo parezca, hacer esto a mano y anotar cada paso me llevó bastante tiempo.

Finalmente, consigo el pdf de $R$ como

$$f_R(r)=4n(n-1)r^{n-2}\left[\frac{(r-1)(2-r)^{n-1}}{2(1-n)}+\frac{1}{4(n^2-1)}\left\{r^{n+1}-(2-r)^{n+1}\right\}\right]\mathbf1_{0<r<1}$$

Sinceramente, después del tedioso cálculo, no sé si quiero comprobar que esto se integra a $1$ o no (sin utilizar un software, es decir). Así que no sé si esta respuesta tiene sentido.

Me gustaría conocer algún procedimiento alternativo para resolver el problema, y quizás una forma más eficiente. Creo que el método CDF da como resultado casi la misma complejidad.

Answer 1

Edit: por favor, deja de votar este comentario, era un comentario y no debería haber sido aceptado como respuesta por el OP. Por favor, lean los comentarios y lean la literatura si no están familiarizados con esta técnica. Parece que la relación entre la distribución uniforme y la distribución beta de su estadística ordenada no se enseña/comprende bien.

¿Supongo que te has dado cuenta de que el rango se distribuye como una forma de la densidad beta? Convierte a Uniforme si no te gusta trabajar con Beta. Mi consejo es que no lo integres, sólo piensa a qué forma se parece esto, puede que no tenga una forma cerrada si implica la función beta incompleta pero no es realmente necesario para encontrar la distribución.