Edit: La siguiente es una mejor estimación a la baja.
Una estimación a la baja aquí es positivo $x$,
$$
\sum_{m, n\leq x} \frac1{\tau(mn)}
$$
donde $\tau(n)=\sum_{d|n}1$ es el número de divisores de a$n$. Esto es debido a que $\tau(mn)$ cuenta todos los posibles elección de enteros positivos $d, k$ con $dk=mn$, no sólo los con $d\leq x, k\leq x$.
La estimación puede ser dada a través de Selberg Y Delange Método. El método se muestra en la Tenenbaum del libro Introducción a la Analítica y Probabilística de la Teoría de números (capítulos 5, 6).
El siguiente está en la Página 207 Teorema 8 de Tenenbaum del libro.
Teorema de
Vamos
$$
h=\prod_p \sqrt{p(p-1)}\log\left(1-\frac1p\right)^{-1}.
$$
A continuación, de manera uniforme para $x\geq 2$, $d\geq 1$, tenemos
$$
\sum_{n\leq x} \frac 1{\tau(nd)}=\frac{hx}{\sqrt{\pi\log x}}\left(g(d)+O\left( \frac{(3/4)^{w(d)}}{\log x}\right)\right)
$$
donde $g$ es una función aritmética de satisfacciones
$$
\sum_{d\leq x} g(d)=\frac x{h\sqrt{\pi\log x}}\left(1+O\left(\frac1{\log x}\right)\right).
$$
La aplicación de este teorema en el presupuesto, obtenemos
$$
\begin{align}
\sum_{m,n\leq x} \frac1{\tau(mn)} &=\frac{hx}{\sqrt{\pi\log x}}\left(\frac x{h\sqrt{\pi\log x}}+O\left(\frac x{\log^{3/2} x}\right)+O\left(\frac{\sum_{d\leq x}(3/4)^{w(d)}}{\log x} \right)\right)\\
&=\frac{hx}{\sqrt{\pi\log x}}\left(\frac x{h\sqrt{\pi\log x}}+O\left(\frac x{\log^{3/2} x}\right)+O\left(\frac{x\log^{-1/4}x}{\log x} \right)\right)\\
&=\frac{x^2}{\pi \log x}+O\left(\frac {x^2}{\log^{7/4} x}\right)
\end{align}.
$$
