Patrón aritmético $1 + 2 = 3$, $4 + 5 + 6 = 7 + 8$, y así sucesivamente

Question

Estoy notando este patrón:\begin{align} 1+2&=3\\ 4+5+6&=7+8\\ 9+10+11+12&=13+14+15 \\ 16+17+18+19+20&=21+22+23+24 \\ &\vdots \end {Alinee el} hay una fórmula general que expresa un patrón aquí, como el término de th de $n$, o la forma cerrada de la suma entera? Creo que el término de $n$ th empieza con % $ $$n^2+(n^2+1)+\cdots=\cdots+[(n+1)^2-1].$también estoy asumiendo que una vez que se descubre esta fórmula, podemos demostrar por inducción para cualquier $n$.

Answer 1

Esperemos que una prueba sin palabras.

Answer 2

La fórmula sería:

$n^2+(n^2+1)+\cdots+(n^2+n)=(n^2+n+1)+\cdots+(n^2+2n)$

Tenga en cuenta que hay (n+1) términos en el lado izquierdo y n términos de la derecha. Como una forma cerrada de la suma, tenga en cuenta que cada lado es una media aritmética de la serie con una diferencia de 1 y hay fórmulas que se podrían utilizar para calcular esto.

Tenga en cuenta que el $n^2+2n+1=(n+1)^2$ por cómo la fila siguiente se inicia sentido en el final así.

Un intento en la forma cerrada de la expresión sería:

$n^2(n+1)+\frac{n(n+1)}{2}$

Donde el primer término es el $(n+1)$ ocurrencias de la $n^2$, mientras que la segunda es la suma de los primeros a $n$ números naturales, que es una conocida fórmula. Si desea que la suma de una fila, usted podría apenas el doble de esa suma.

Answer 3

Prueba de las identidades $$\begin{align} n^2&=\sum_{k=1}^nn\tag{1}\\ n^2+\sum_{k=1}^n\left(n^2+k\right)&=\sum_{k=1}^n\left(n^2+n+k\right)\tag{2}\\ \sum_{k=0}^n\left(n^2+k\right)&=\sum_{k=n+1}^{2n}\left(n^2+k\right)\tag{3} \end {Alinee el} $$ explicación:
$(1)$: multiplicación como una suma
$(2)$: Añadir $\sum\limits_{k=1}^n\left(n^2+k\right)$ a ambos lados
$(3)$: $n^2$ en la suma de la izquierda y reindexar la suma de la derecha

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Derivación de la fórmula para cada lado

Utilizando la fórmula \sum_{k=1}^nk=\frac{n(n+1) $$} 2\tag {4} $$ y la ecuación de $(2)$, podemos calcular la suma de cada lado del $(3)$ $ $\begin{align} n^2+n^3+\frac{n(n+1)}2 &=\frac{2n^3+3n^2+n}2\\ &=\frac{n(n+1)(2n+1)}2\tag{5} \end {Alinee el} $$

Answer 4

Ambos lados son $n (n+1)(2n+1)/2$ que pasa también a ser $3 (1^2 + 2^2 + \ldots + n^2)$.

Answer 5

$n^2 = \sum_{k=0}^{n-1} n = \sum_{k=0}^{n-1} ((n(n+2)-k)-(n(n+1)-k))$, desde $(n(n+2)-k)-(n(n+1)-k) = n$.

Así que tenemos $n^2+\sum_{k=0}^{n-1} (n(n+1)-k) = \sum_{k=0}^{n-1} (n(n+2)-k)$.