Una simple conjetura (y una pregunta) sobre tres parábolas relacionadas con cualquier triángulo.

Question

Dado cualquier triángulo, podemos construir tres parábolas, cada uno con un enfoque en un vértice y con la directriz el lado opuesto, como se ilustra a continuación:

Mi primera conjetura, probablemente trivial, es que, dado cualquier triángulo,

Las tres parábolas nunca se cruzan, pero que se aproximan el uno al otro en más de tres puntos.

Por ejemplo, en el caso de un triángulo equilátero, parece que las tres parábolas "toque" de cada una de las otras en tres puntos de $E,F,G$

Sin embargo, no es obvio para mí si el triángulo equilátero es el único caso en el que se pueden encontrar tres puntos tangenciales $E,F,G$.

La pregunta es, entonces:

En que condiciones (en el triángulo inicial) que podemos encontrar en tres, dos, uno o ningún tangencial puntos?

Pido disculpas en caso de que la pregunta es trivial. Pero muchas gracias por tus sugerencias, comentarios, sugerencias!

Answer 1

Deje $\ell$ ser la mediatriz de $\overline{BC}$, y deje $B^\prime$ ser el punto donde se $\ell$ cumple con la perpendicular a la $B$ a $\overline{AB}$. A continuación, $B^\prime$ es equidistante de a$C$ e $\overleftrightarrow{AB}$, lo $B^\prime$ es en el $C$-foco de una parábola. Desde $\ell$ biseca $\angle BB^\prime C$, un aspecto de la parabólica, la reflexión implica que $\ell$ es tangente a la parábola.

Del mismo modo, $\ell$ es tangente a la $B$-foco de una parábola (es decir, en $C^\prime$), por lo $\ell$ separa las dos parábolas, haciendo que la única posibilidad de su encuentro cuando $B^\prime$ e $C^\prime$ coinciden. Esto sucede si y sólo si $\triangle ABC$ es isósceles con base $\overline{BC}$. $\square$

A partir de esto, podemos ver que las tres parábolas no admite ninguna tangencial puntos si el triángulo es escaleno, tres tangencial puntos si el triángulo es equilátero, y exactamente un punto tangencial si el triángulo no es equilaterally isósceles. Nunca hay exactamente dos puntos tangenciales. $\square$