Cómo "ver" la discontinuidad del segundo derivado de la gráfica de la función

Question

Supongamos que tenemos una función real $ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que es dos veces diferenciable y que nos dibuja su gráfica $\{(x,f(x)), x \in \mathbb{R} \} $. Sabemos, por ejemplo, que cuando la primera derivada no es continua en un punto entonces tenemos un "rincón" en el gráfico. Cómo sobre una discontinuidad de $f''(x)$ a un punto de $x_0$ aunque? Podemos irregular que sólo por el dibujo de la gráfica de $f(x)$ -no dibujar la gráfica de la primera derivada y darse cuenta de que tiene una "esquina" a $x_0$, eso es hacer trampa. ¿Qué acerca de las discontinuidades de más de derivados, que por supuesto va a ser más difícil "ver"?

Answer 1

Viendo la segunda derivada por el ojo es más bien imposible, ya que los ejemplos en las otras respuestas muestran. Sin embargo, hay una buena manera de visualizar la segunda derivada como la curvatura, lo que da una buena manera de ver las discontinuidades si algunos otros audiovisual.

Mientras que la primera derivada se describe la pendiente de la recta que mejor se aproxima a la gráfica de la derivada segunda se describe la curvatura de la mejor aproximación de círculo. La mejor aproximación de círculo a la gráfica de $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ a un punto de $x$ es el círculo tangente a $(x,f(x))$ con radio igual a $((1+f'(x)^2)^{3/2})/\left\vert f''(x) \right\vert$. Esto deja exactamente dos círculos, y el signo de $f''(x)$ determina que es la correcta. Es decir, si el círculo debe estar por encima de ($f''(x)>0$) o por debajo ($f''(x)<0$) de la gráfica. Tenga en cuenta que el caso cuando se $f''(x)=0$ corresponde a un círculo con "infinito" de radio, es decir, sólo una línea.

Como demostración, considere la diferencia entre algunas de las funciones mencionadas antes. Para $x\mapsto x^3$, la segunda derivada es continua, y la mejor aproximación círculo varía de manera continua ("continuo" aquí debe interpretarse con cuidado, ya que el radio pasa a través de los degenerados $\infty$-caso cuando se cambia de signo)

Para $x\mapsto \begin{cases}x^2,&x>0\\-x^2,&x\leq 0\end{cases}$ la mejor aproximación círculo tiene un visible discontinuidad en $x=0$, donde el círculo abruptamente saltos de un lado para el otro.

Las fotos de arriba fueron hechas con Sage. El código utilizado para crear el segundo es de abajo para jugar con:

def tangent_circle(f,x0,df=None):
    if df is None:
        df = f.derivative(x)
    r = (1+df(x=x0)^2)^(3/2)/df.derivative(x)(x=x0)
    tang = df(x=x0)
    unitnormal = vector(SR,(-tang,1))/sqrt(1+tang^2)
    c = vector(SR,(x0,f(x0)))+unitnormal*r
    return c,r

def plot_curvatures(f,df=None,plotrange=(-1.2,1.2),xran=(-1,1),framenum=50):
    fplot = plot(f,(x,plotrange[0],plotrange[1]),aspect_ratio=1,color="black")
    xmin = xran[0]
    xmax = xran[1]
    pts = [xmin+(xmax-xmin)*(k/(framenum-1)) for k in range(framenum)]
    return [fplot+circle((x0,f(x0)),0.03,fill=True,color="blue")+circle(*tangent_circle(f,x0,df),color="blue") for x0 in pts]

f = lambda x: x^2 if x>0 else -x^2
df = 2*abs(x)
frames = plot_curvatures(f,df)
animate(frames,xmin=-1.5,xmax=1.5,ymin=-1,ymax=1)

Answer 2

Si o no usted puede "ver" esta es, en cierto sentido, una pregunta acerca de la agudeza de la visión humana. Creo que la respuesta es "no". Si se hace un gráfico de la función $$ g(x) = \int_0^x |t|dt $$ verá la costumbre parábola en la mitad derecha del plano y su negativa en la mitad izquierda del plano. Se encuentran en el origen con derivados $0$. La derivada de esta función es $|x|$, cuya derivada no está definida en $0$. La segunda derivada es $-1$ a la izquierda y $1$ a la derecha, definida en el origen.

Parcela de eso y ver si usted puede ver la segunda derivada. A menos que usted dibuja realmente con cuidado y saber lo que usted está buscando el gráfico se verá como la de $x^3$, lo cual es muy respetable.

Answer 3

Suponiendo que el gráfico está hecho de material reflectante, puede ver discontinuo segundo derivados en la reflexión. Por ejemplo, si usted está de pie en $(0,-1)$ y mira hacia arriba en el gráfico de $f(x)=\max\{x,0\}$ la reflexión tendrá una discontinuidad en el punto de nondifferentiability de $f$, es decir, $(0,0)$, incluso a pesar de $f$ es continua allí. Del mismo modo, si usted mira un diffferentiable gráfico que es diferenciable, pero no dos veces diferenciable, la reflexión no ser diferenciable.

Answer 4

Hace algunos años yo hacinados mi cuerpo de un adulto en un lugar pequeño coche de un niño de paseo llamado El Ratón Salvaje. Se trataba de una "montaña rusa" que no perceptible vertical de gotas de como entró en una espiral en la moda en un camino que consistía en la alternancia de los segmentos de las líneas y los círculos de barrio. Los niños podrían estar encantado en una transición entre la línea y el círculo, porque la ruta tiene una discontinuidad en su segunda derivada en cada transición.

El coche esencialmente mueve a una velocidad constante, por lo que en los segmentos de recta el coche no estaba acelerando, y que no había "ninguna" de la fuerza en el coche. Sin embargo, una partícula que se mueve a velocidad constante en una trayectoria circular constante distinto de cero la aceleración apunta hacia el centro del círculo, por lo que el coche, y el niño, experimenta una fuerza hacia el centro del círculo. Los niños podrían sentir la discontinuidad de la derivada segunda de los coches de ruta.

Ferrocarril ingenieros han conocido acerca de este cambio abrupto en vigor desde antes de mediados del siglo 19, y se utiliza curvas con espirales características, que ahora se llama "transición curvas". Tales curvas son utilizados por ferrocarril y carretera diseñadores para proporcionar más suaves olas para sus clientes.

Answer 5

No estoy seguro si hay una imagen "rigurosa" de comprobar, pero hay sutiles pistas que podrían indicar que es posible.

Por ejemplo, si usted sabe que la primera derivada $f'$ tiene una "esquina" a $x=a$, entonces la gráfica de $f$ tiene que ser monótona creciente/decreciente alrededor de $x=a$. Además, esto indica un cambio en la concavidad tiene que estar presente. De modo que los lugares donde se han

• un cambio en la concavidad Y
• no cambio aumento/disminución de comportamiento (que nos permiten derivados de cero aquí),

entonces podría suceder en ese punto (en términos de limitar la variedad de posibilidades). Tome por ejemplo la antiderivada de $|x|$.

Obviamente esto no está diciendo que esto siempre es cierto (ver $x^3$ , por ejemplo). Solo que si quiere limitar su enfoque a los potenciales puntos, hacer este truco.

Por favor, hágamelo saber si hay algo que me estoy perdiendo o equivocada.