Me dan un tubo de 3 mm de diámetro con paredes de grosor casi infinito (para que el impacto no se vea afectado por el grosor del tubo) que tiene algo que se desplaza por el centro del mismo en una línea. ¿Cómo puedo encontrar el radio mínimo de curvatura de la línea central de esta tubería de tal manera que cuando la línea se cruza con la pared no tenga un ángulo mayor de 69 grados?
He intentado hacer un triángulo que conecte el punto donde empieza la curva, el punto de impacto y el centro de la curva, pero eso sólo me dice los ángulos de ese triángulo, dejando los lados todos desconocidos.
He encontrado que la longitud del arco exterior dentro del triángulo tiene una longitud de 1,2 veces el radio, pero de nuevo, eso no es útil. No tengo ninguna otra idea sobre cómo podría proceder con esto y la búsqueda en línea de algo que pueda extrapolar la respuesta ha sido infructuosa.
El objetivo es encontrar el radio del círculo que se crea al curvarse a esa velocidad.
Explicación añadida a partir de los comentarios: El problema puede reducirse esencialmente a: Dos líneas se desplazan paralelas entre sí a 1,5 mm de distancia a lo largo del plano x. En un punto arbitrario, la línea de abajo se curva hacia arriba y se cruza con la línea de arriba, creando un ángulo de 69 grados desde la tangente de la línea curva. Si la línea continúa curvándose a la misma velocidad para crear un círculo, cuál es el radio de ese círculo (es decir, el radio de curvatura).
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Esta pregunta parece interesante, pero personalmente no soy capaz de entenderla del todo, quizá sea demasiado densa. Este ángulo, que usted está tratando de limitar por encima, es entre lo que y lo que exactamente? Algunas imágenes, si es posible, creo que aclararía todo.
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Voy a trabajar en una imagen para esto ahora, pero también tratar de explicar en forma verbal en el ínterin. El problema se puede reducir esencialmente a: Dos líneas se desplazan paralelas entre sí a 1,5 mm de distancia en el plano x. En un punto arbitrario, la línea de abajo se curva hacia arriba y se cruza con la línea de arriba, creando un ángulo de 69 grados desde la tangente de la línea curva. Si la línea continúa curvándose a la misma velocidad para crear un círculo, cuál es el radio de ese círculo (es decir, el radio de curvatura).
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Dos líneas rectas $L_{1}, L_{2}$ son paralelos entre sí en el plano. En algún momento, la línea $L_{2}$ abajo se curva hacia arriba, y finalmente se cruza $L_{1}$ (que permaneció recta) de manera que el ángulo entre $L_{1}$ y la recta tangente a $L_{2}$ en el punto de intersección es de 69 grados. ¿Correcto? Si es así, entonces, si por ejemplo no restringes la velocidad a la que $L_{2}$ curvas hacia arriba (es decir, su segunda derivada), entonces podemos hacer $L_{2}$ tienen un radio de curvatura arbitrario en el momento de su intersección con $L_{1}$ (continuación)
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Por ejemplo, $L_{2}$ podría curvarse muy rápido, y luego, antes de intersectar $L_{1}$ comienzan a comportarse como una línea recta (de pendiente $\arctan{69º}$ ), por lo que la intersección de $L_{1}$ en un ángulo de 69 grados, pero con un radio de curvatura infinito.
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@wet Es una posibilidad, pero en este caso hemos de suponer que la velocidad a la que se curva L2 es constante desde que empieza a curvarse hasta que toca L1. Todo lo que esté más allá de ese punto es intrascendente.
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EDIT: OK. Veo que has impuesto la restricción de la segunda derivada constante. Voy a pensar en ello.
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Creo que en realidad sólo hay una manera de $L_{2}$ puede curvarse hacia arriba para intersecar $L_{1}$ en el ángulo deseado de 69 grados, es decir, no hay un radio de curvatura máximo ni mínimo, sólo hay un radio posible $R$ . Estoy pensando específicamente que $R = \tfrac{1.5}{1-\cos{21º}}$ . Hará una ilustración.