Dadas $G,L \leq S_4$, si $|G| = |L| = 6$, no tenemos $L \cong G$

Question

He estado luchando en esto un poco, $S_4$ no es cíclica por lo hace las cosas un poco más difícil. Sé por Lagrange existe un subgrupo de G con orden 6. Realmente encontré algunos ejemplos. Luego encontrado por la investigación que cada grupo de orden 6 es precisamente el $S_3$. Estoy pudiendo ver por qué esto es importante, por lo tanto no prueban el titular actual de esta cuestión. Cualquier ayuda es apreciada.

Answer 1

Existen dos grupos de orden 6, hasta isomorfismo: $S_3$ y $\mathbb{Z}_6$.

¿Es posible que un subgrupo de $S_4$ ser isomorfo a $\mathbb{Z}_6$?

Sugerencia: Piense en las órdenes de elementos de $S_4$.