¿Cómo escalar 3 fracciones a números naturales 3?

Question

Descargo de responsabilidad: soy un ingeniero, no un matemático

Tengo un conjunto de tres fracciones (a/b, c/d, e/f). Puedo multiplicar todas ellas por la otra fracción, por lo que sus mutuas relaciones de seguir siendo el mismo. Quiero terminar con números naturales (i, j, k) donde

$$\gcd(i, j, k) = 1$$

He intentado lo siguiente:

$$ \dfrac{g}{h} = \gcd\left(\dfrac{a}{b}, \dfrac{c}{d}, \dfrac{e}{f} \right) $$

Entonces

$$ \begin{cases} i = \dfrac{a \cdot h}{b \cdot g} \\ \\ j = \dfrac{c \cdot h}{d \cdot g} \\ \\ k = \dfrac{e \cdot h}{f \cdot g} \end{cases} $$

parece que funciona, pero no puedo probar que es siempre verdadera. Es esto válido conjetura?

Otro problema que me encontré: necesitaba el denominador de una reducción de la fracción, y no lo pude encontrar! No que debe ser una función de $f$ donde

$$f\left(\dfrac{a}{b}\right) = b$$

para la reducción de la fracción de $\dfrac{a}{b}$?

Yo no soy un matemático, así que por favor, escriba poco a poco ;-)

Answer 1

Respuesta a tu primera pregunta:

Esto es cierto por la definición de la racional MCD. En primer lugar, se asegura que para sus pares $\left(\dfrac{a}{b}, \dfrac{c}{d}, \dfrac{e}{f} \right)=\left(x, y, z \right)$ contamos con $r=\gcd\left(x, y, z \right)$ que $\left(\dfrac{x}{r}, \dfrac{y}{r}, \dfrac{z}{r} \right)$ son todos los números enteros y que $r$ es el máximo número racional con esa propiedad.

Suponga $\gcd\left(\dfrac{x}{r}, \dfrac{y}{r}, \dfrac{z}{r} \right)$ no $1$, entonces se puede multiplicar $r$ por ese número y mantener la propiedad de que los números son enteros. Por lo tanto, obtener una contradicción a la maximality de $r$.

A la segunda pregunta:

Si la fracción $\dfrac{a}{b}$ se reduce tienes que $\gcd(1,\dfrac{a}{b})=\dfrac{1}{b}$ por las propiedades anteriores. Usted puede usar esto para obtener una fórmula para $b$?