Esto se discute en detalle en el capítulo IV de la RRT notas en mi página web (roy smith en el departamento de matemáticas de la universidad de georgia). Brevemente, el índice punto de vista es una valiosa simplificación, pero la de Riemann-Roch es el teorema de más de un índice de declaración en general. Por otra parte el contenido de la instrucción del índice depende de la definición de la "índice". En la respuesta por Spinorbundle anteriormente, la analítica índice se define de tal manera que la indicación de él como él lo hace, le da una declaración completa de la RRT teorema. I. e. su definición de índice incluye la declaración de la dualidad de Serre así, que en el caso de las curvas también implica Kodaira de fuga.
Generalmente un índice de un operador lineal es la diferencia entre el kernel y cokernel de ese operador. En Riemann de la formulación original de su teorema, que operador es una matriz de periodos de integrales, y el RR problema es el de la informática, sólo en su núcleo. En la gavilla teórico de la versión de su enfoque, el índice de la correspondiente operador asociado a un divisor D es la diferencia de chi(D) = h^0(D) - h^1(D). Un fácil de largo exacto de la gavilla cohomology secuencia implica de inmediato que el chi(D) - chi(O) = deg(D).
Entonces, si uno simplemente define el género 1-chi(O) como se hace a veces, el resultado es la fórmula de chi(D) = 1-g + deg(D), una especie de "cálculo" del índice chi(D), a veces llamado el de Riemann-Roch teorema. Sin embargo, esto no es muy útil a menos que uno también puede calcular g, es decir, el chi(O). El real RR teorema, por lo que debe relacionarse chi(S) a algunos de los más esclarecedores de la definición del género, tales como h^0(K) o el topológica de género. I. e. la muy débil fórmula en este párrafo no revelan que el índice chi(D) es un invariante topológico. Finalmente, las condiciones deben ser dada cuando el chi(D) = h^0(D), el real de Riemann-Roch número.
En la dimensión uno, definiendo el índice como Spinorbundle hace, y de la computación, resuelve todos estos problemas a la vez. Pero ese cálculo es, en consecuencia, más difícil. En las dimensiones superiores incluso que la computación no da un criterio para que el índice sea igual a la de Riemann-Roch número.
Cuando el índice chi(L) se define como la alternancia suma de las dimensiones de la gavilla cohomology grupos de una línea de paquete de L, lo que es más común en la geometría algebraica, entonces hay varios pasos a la plena RR teorema:
1) calcular el chi(L) - chi(O), la diferencia de los índices de L y de S, como un invariante topológico. Esto es relativamente fácil en parte, por la gavilla de la teoría.
2) calcular el chi(O), que también es un invariante topológico. esto es a veces llamada la Noether fórmula (al menos para superficies). Uno entonces tiene un topológica de la fórmula para el índice chi(L).
3) relacionar chi(L) h^0(L), y tal vez h^0(K-L). esto implica la desaparición de los criterios de serre y kodaira y mumford, y la dualidad. Esta es la parte más difícil.
Moral: calcular el índice chi(L) es topológico, por tanto, relativamente fácil. Entonces uno trata de ir de chi(L) h^0(L), utilizando los resultados profundos de la dualidad de Serre y Kodaira de fuga. Diciendo que el TSR es (sólo) un índice problema es como decir que se puede calcular el número de vértices de un poliedro sólo desde el conocimiento de su característica de Euler. Pero confieso que pretender otra cosa a veces. De hecho uno de mis camisetas lee "y explicará de Riemann-Roch para gianduia: chi(D)-chi(O) = deg(D), y el chi(O) = 1-g", que es simplemente la declaración de índice.
En el RRT notas en mi página web, pp 37-42 hay una sencilla prueba de los pasos 1 y 2, para las curvas, inspirada en la introducción a uno de Fulton papeles. Básicamente, una vez que han identificado un invariante topológico, usted puede calcular por la degeneración de un caso más sencillo. Estas notas también hablar de Riemann original de la prueba, así como generalizaciones del índice de punto de vista para el caso de las superficies, y un poco sobre la Hirzebruch RR teorema de las dimensiones superiores. Serre de la prueba del teorema de dualidad también está esbozado. Brevemente Serre grumos todos los cohomology de espacios para todos los divisores D junto a dos de infinitas dimensiones complejo de espacios vectoriales, que se muestra a continuación, son tanto una dimensión más de la mayor campo de funciones racionales. Así, es más fácil de probar que son isomorfos sobre dicho campo, mostrando la natural mapa entre ellos es distinto de cero, por lo tanto, todos sus componentes individuales son isomorfos sobre los números complejos.
