Calcular el límite de número de Euler

Question

Por favor, hasta ahora hice$$\lim_{x\to +\infty}\left(\frac{x^2-x+1}{x+2}\right)^{\frac{1}{x-1}},$ $ pero puedo escribir$$\frac{x^2-x+1}{x+2}=1+\frac{x^2-2x-1}{x+2}=1+\frac{1}{\frac{x+2}{x^2-2x-1}}.$ $ Pero$$\lim_{x\to +\infty}\frac{x+2}{x^2-2x-1}=0,$ $ así que no puedo usar$$e =\lim_{N\to \infty}(1+\frac{1}{N})^N$ $

Answer 1

Tome el registro natural de este lío y obtendrá:

PS

Al aplicar la regla de L'Hospital, terminamos con

PS

Así,

PS

Answer 2

Tenga en cuenta que para un$x$ suficientemente grande,

\begin{align} 1 < \left(\frac{x^2-x+1}{x+2}\right)^\frac{1}{x-1} & = \left(x-3+\frac{7}{x+2}\right)^\frac{1}{x-1} \\ & < (x-1)^\frac{1}{x-1} \end{align}

que tiene un límite conocido como$x \to +\infty$.

Answer 3

No $\displaystyle y=\left(\frac{x^2-x+1}{x+2}\right)^{\frac{1}{x-1}}$ $$\ln y= \frac{1}{x-1}\ln(x^2-x+1)-\frac{1}{x-1}\ln(x+2)$ $ $$\lim{y\rightarrow \infty} \ln y=\lim{x\rightarrow \infty}\frac{2x-1}{x^2-x+1}-\lim{x\rightarrow \infty}\frac{1}{x+2}=0,\ L'Hopital$ $ entonces $\lim{y\rightarrow \infty}y=1$