detectar el período más grande en componentes no armónico

Question

consideremos siguientes componentes sinusoidales

$\sin(2\pi 13.5t)+\sin(2\pi 13.99t)+\sin(2\pi 25.3t)+\sin(2\pi 26t)$,

claramente esto no es periódica en total,debido a que las frecuencias o períodos que no están relacionados el uno al otro por los números racionales,pero claramente podemos ser capaces de medir un cierto número ,que podría llegar a representar un mayor período de este sinusoidal derecho de componentes?por ejemplo, para el primer componente

$T_0=1/13.5=0.0740740740740741$

$T_1=1/13.99=0.0714796283059328$

$T_2=1/25.3=0.0395256916996047$

$T_3=1/26=0.0384615384615385$

claramente, desde allí, $T_0$ es más grande,puede que de alguna manera nos consideren $T_0$ como un mayor período de esta señal?gracias por la ayuda

Answer 1

Esta función es periódica porque los cocientes de los períodos son todos racionales.

Los períodos son $$\begin{align} & \left( \frac{1}{13.5}, \frac{1}{13.99}, \frac{1}{25.3}, \frac{1}{26} \right) \[6pt] = & 100\left(\frac{1}{1350}, \frac{1}{1399}, \frac{1}{2530}, \frac{1}{2600}\right) = 100\left( \frac 1 a, \frac 1 b,\frac 1 c,\frac 1 d\right) \[6pt] = & \frac{100}{abcd} (bcd,acd,abd, abc). \end {Alinee el} $$

Período es $\dfrac{100}{abcd}$ veces el común múltiplo más pequeño de los cuatro últimos componentes.

Parece que, será útil saber el primer factorizaciones de algunos números:\begin{align} 1350 & = 2\cdot3\cdot3\cdot3\cdot5\cdot5 \ 1399 & = 1399 \text{ (This one is prime.)} \ 2530 & = 2\cdot5\cdot11\cdot23 \ 2600 & = 2\cdot2\cdot5\cdot5\cdot13 \end {Alinee el}

Answer 2

Deje que el período de $\displaystyle \sin(2n\pi t)$ $T$

Así que tenemos $\displaystyle \sin[2n\pi(t+T)]=\sin(2n\pi t)$

$\displaystyle\implies 2n\pi(t+T)=m\pi+(-1)^m2n\pi t $ donde $m$ es cualquier entero

Establecimiento $\displaystyle m=2r, 2n\pi(t+T)=2r\pi+2n\pi t\iff T=\frac{r\pi}n $

Establecimiento $\displaystyle m=2r+1, T $ es una función de $t$ y por lo tanto no es constante

Así, el período es de $\displaystyle T=\dfrac{\pi}n $ $r=1$

Ahora el uso de la Suma de dos funciones periódicas es periódica? o Período de la suma o producto de dos funciones