¿Como ganar este juego?

Question

Tengo un reto: ganar el juego con las siguientes reglas:

1. Hay exactamente dos jugadores y su turno alterno;
2. En cada turno, un jugador elimina 1, 2, 3 o 4 contadores de una pila que era inicialmente 27 contadores;
3. Los extremos de juegos cuando se han quitado todos los contadores;
4. El jugador que tiene un número de contadores cuando todos los contadores han tenido victorias.

¿Quién gana? ¿Cuál es la estrategia para ganar?

Answer 1

Describir la posición de el juego en cualquier momento por el par $(n,o)$, lo que significa que no se $n$ contadores de la izquierda y el jugador cuyo turno es para mover tiene un número impar de contadores, o $(n,e)$, lo que significa que no se $n$ contadores de la izquierda y el jugador cuyo turno es para mover tiene un número de contadores. Decimos que una posición es una posición ganadora si el jugador cuyo turno es para mover la fuerza de ganar, no importa lo que su oponente.

• $(1,o)$ es una posición ganadora debido a que el jugador se mueva toma el último contador y termina con un número par.
• $(1,e)$ es una mala posición, ya que el jugador se mueva se ve obligado a tomar la última contador y termina con un número impar.
• $(2,o)$ es una posición ganadora, porque tomar un contador pone al oponente en posición de $(1,e)$ y luego debe perder.
• $(2,e)$ es una posición ganadora debido a que el jugador se mueva puede tomar ambos contadores y terminar con un número par.
• Por razones similares, $(3,o)$ $(3,e)$ $(4,o)$ $(4,e)$ son todos los ganadores. Por ejemplo, en la posición $(3,e)$ el oponente tiene un número de contadores, teniendo dos contadores lo pone en la posición $(1,e)$ y, como en el anterior, entonces debe perder. Ahora se pone un poco más interesante.
• $(5,o)$ es una posición perdedora como el oponente tiene un número impar de contadores, por lo que cualquier movimiento va a salir de él, en uno de los ganadores $(4,o)$ o $(3,o)$ o $(2,o)$ o $(1,o)$.
• $(5,e)$ es una posición ganadora porque la toma de $4$ contadores pone el rival en la posición perdedora $(1,e)$.
• $(6,o)$ es una posición perdedora porque el rival tiene un número de contadores, por lo que cualquier movimiento va a salir de él, en uno de los ganadores $(5,e)$ o $(4,e)$ o $(3,e)$ o $(2,e)$.
• $(6,e)$ es una posición ganadora porque la toma de $1$ contador pone el rival en la posición perdedora $(5,o)$.

Si sigues así, usted encontrará que la situación se repite: la ganancia y la pérdida de posiciones de $n$ contadores son los mismos que para $n-6$ contadores. Por ejemplo, si $n=7$ $(n,o)$ gana y $(n,e)$ pierde, lo mismo que para $n=1$; si $n=8$, en tanto $(n,o)$ $(n,e)$ ganar, lo mismo que para $n=2$; y así sucesivamente.

Por lo tanto,$n=27$, comenzando con un número de contadores ($0$ es incluso), es esencialmente la misma que la posición $(3,e)$, y el primer jugador gana por tomar dos contadores.

La estrategia ganadora es simplemente seguir la tabla de las instrucciones dadas anteriormente. Como realmente hay sólo doce posiciones diferentes que van desde$(1,o)$$(6,e)$, y tres de ellos están perdiendo posiciones, de modo que no importa lo que hagas, no son, en efecto, nueve ganadores se mueve a memorizar. Aquí están: en caso de que usted nunca ha visto la notación, $n\,\hbox{mod}\,6$ significa que el resto al $n$ se divide por $6$. Los movimientos entre paréntesis son alternativas, pero que no puede ser utilizado una vez que son hasta el último de los seis contadores. $$\matriz{n\,\hbox{mod}\,6&0&1&2&3&4&5\cr s&\hbox{none}&1\,(2)&1&3\,(4)&3&\hbox{none}\cr e&1&\hbox{none}&2\,(3)&2&4&4\cr}$$ Probablemente una forma sencilla de recordar que ellos podrían ser elaborados, pero se los dejo a ustedes.