Prueba de primos de la forma$6n+1$

Question

De acuerdo con OEIS Sequence A002476 ( https://oeis.org/A002476 ), se dice que todos los números primos de la forma$6n+1$ se pueden escribir en la forma:$x^2 - xy + 7y^2$ con$x$ y$y$ no negativo. Me preguntaba si alguien tenía una prueba de esto.

¡Gracias!

Answer 1

Podemos escribir $$ x^2-xy+7y^2=\Big(x-\frac{1+3\sqrt{-3}}{2}y\Big)\Big(x-\frac{1-3\sqrt{-3}}{2}y\Big) $$

así que (desde $\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$ es un PID) la determinación de que los números primos se puede escribir en la forma $x^2-xy+7y^2$ se reduce a la cuestión de cuál de los números primos dividir en $\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$.

Si $p$ es un extraño primo, entonces $p$ se divide en $\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$ si y sólo si $(\frac{-3}{p})=1$. Por la reciprocidad cuadrática tenemos $$ \Big(\frac{-3}{p}\Big)=\Big(\frac{-1}{p}\Big)\Big(\frac{3}{p}\Big)=\Big(\frac{p}{3}\Big) $$ por lo tanto $(\frac{-3}{p})=1$ si y sólo si $p\equiv 1$ (mod $3$). Desde $p$ es impar, esto significa que $p$ se divide en $\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$ si y sólo si $p\equiv 1$ (mod $6$).

Por supuesto, esto deja fuera el caso $p=2$, pero para que esto tenga en cuenta que si $x^2-xy+7y^2$ es incluso entonces tanto $x$ $y$ debe ser, incluso, en cuyo caso $x^2-xy+7y^2$ debe ser divisible por $4$.