¿Existe un operador lineal continuo$T: (C[0,1],||.||_2) \to (C[0,1],||. ||_2)$ tal que$T$ sea discontinuo si$C[0,1]$ se considera con$||.||_\infty$ en lugar de$||.||_2$?
Creo que tal operador puede existir pero no puede construir un ejemplo. ¿Alguna idea?
No hay tal operador. Tenga en cuenta que$(C ([0,1]),\|\cdot\|_\infty ) $ es un espacio de Banach, por lo que es suficiente para mostrar que$T $ tiene un gráfico cerrado.
Por lo tanto, supongamos que$f_n \to f $ y$T f_n \to g $ (ambos con respecto a$\|\cdot\|_\infty $).
Luego$f_n \to f $ y$T f_n \to g $ bith con respecto a$\|\cdot\|_2$ (¿por qué?) Y por lo tanto$T f_n \to Tf $ también con respecto a$\|\cdot\|_2$ por la continuidad supuesta de$T$.
Esto muestra$g = Tf $ como se desea, de modo que$ T $ es continuo por el teorema de gráfico cerrado.
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