¿Que $x_i\in\mathbb{R}$ % todo $i\in\mathbb{N}.$la siguiente desigualdad siempre es verdadera?
$$\left|\sum_{i=0}^{\infty}xi\right|\leq \sum{i=0}^{\infty}|x_i|$$
Respuestas
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Es cierto, como largo como $\sum_{i=0}^\infty x_i$ converge. De lo contrario, el lado izquierdo puede ser indefinido.
Para ver esto, supongamos que $\sum_{i=0}^\infty x_i$ converge. Por la desigualdad de triángulo, para cada entero no negativo $N$ hemos $$\left|\sum_{i=0}^{N} x_i\right| \leq \sum_{i=0}^N |x_i| \leq \sum_{i=0}^\infty|x_i|$$ donde el extremo derecho de la suma puede ser $+\infty$ (hacer la desigualdad trivialmente verdadero) si la serie no converge absolutamente.
Por lo tanto, teniendo el límite de $N \to \infty$, tenemos $$\lim_{N \to \infty} \left|\sum_{i=0}^{N} x_i\right| \leq \sum_{i=0}^\infty|x_i|$$ Desde $\sum_{i=0}^\infty x_i$ converge y el valor absoluto es continua, también es cierto que $$\lim_{N \to \infty} \left|\sum_{i=0}^{N} x_i\right| = \left|\sum_{i=0}^\infty x_i\right|$$ por lo que el resultado deseado de la siguiente manera.
Editar para discutir el caso en que $\sum_{i=0}^{\infty} x_i$ se aparta en más detalle.
Tenga en cuenta la distinción: $\sum_{i=0}^{\infty} |x_i|$ tiene términos no negativos, por lo que si se aleja, sólo puede divergir a $+\infty$. Pero $\sum_{i=0}^{\infty} x_i$ pueden divergir por no acercarse a cualquier valor finito (o infinito), por ejemplo,$x_i = (-1)^i$. El lado izquierdo no tiene sentido si eso sucede. Lo mejor que podemos decir que si $\sum_{i=0}^{\infty} x_i$ converge o si se aparta a $+\infty$ o $-\infty$, entonces la desigualdad es verdadera.
Juan
Puntos
51
Sí, es cierto, si interpretas $+\infty \le +\infty$ y $x \le +\infty$ % reales todos $x$.
La desigualdad de triángulo para finito muchos términos muestra desigualdad para las sumas parciales de la serie. Tomando el límite de ambos lados da la desigualdad deseada.
Una o ambas series pueden divergir a $+\infty$, por lo que es necesaria la interpretación en mi primer párrafo.
